Math    schooL

 

 

Эрнст Фридрих Фердинанд Цермело

1871–1953

 

Родоначальником теоретико-множественного направления

в основаниях математики стал Эрнст Цермело.

Моррис Клайн

 

Эрнст Фридрих Фердинанд Цермело (27 июля 1871 – 21 мая 1953) – немецкий математик, внёсший значительный вклад в теорию множеств и создание аксиоматических оснований математики.

Эрнст Цермело родился в семье берлинского профессора, поэтому он воспитывался в семье, где стремления к знаниям и всяческие академические успехи только поощрялись.

В 1889 году Цермело окончил гимназию и поступил в Берлинский университет. Позже учился в университетах Галле и Фрайбурга. В этих университетах он посещал курсы лекций, которые читали такие знаменитые математики как Фробениус, Фукс, Планк, Шмидт и Шварц.

В 1894 году защитил дипломную диссертацию по вариационному исчислению в Берлинском университете. После присуждения докторской Цермело остался в университете Берлина, где он был назначен помощником Макса Планка, который занимал кафедру теоретической физики. На данном этапе работы Цермело относились больше к области прикладной математики и, под руководством Планка, он занимался вопросами гидродинамики. В это время Цермело начинает работу над докторской диссертацией.

В 1897 году учёный переезжает в Гёттинген, признанный центр математических исследований в мире в то время, где он закончил докторскую диссертацию в 1899 году. Сразу же после присуждения степени он был назначен преподавателем Гёттингенского университета, что стало знаком признания значимости его работ в статистической механике, а также вариационном исчислении.

Направление исследований Цермело вскоре претерпевает значительные изменения. Кантор выдвинул гипотезу континуума в 1878 году, предполагая, что каждое бесконечное подмножество континуума является либо счетным, либо имеет мощность континуума. Цермело начал работать над проблемами теории множеств.

Это направление и стало основной областью исследований Цермело. Первая его работа на эту тему появилась в 1902 году.

В 1904 году появилась самая известная из работ Цермело, в которой он доказал, что любое множество можно вполне упорядочить (теорема Цермело). Доказательство, однако, опиралось на так называемую аксиому выбора, которая впервые явно сформулирована именно в этой статье и нередко называется «аксиома Цермело». Этот результат, прославив Цермело в математических кругах, также принес ему быстрое продвижение по службе до профессорского звания.

В дальнейшем роль аксиомы выбора в математике вызвала активную дискуссию разных математических школ, в которой высказывались самые разные мнения – от полной поддержки до абсолютного неприятия. Высказывались также опасения, что применение этой аксиомы может привести к противоречиям. Поэтому Цермело вплотную занялся проблемой построения аксиоматического фундамента теории множеств.

Первую версию системы аксиом теории множеств Цермело опубликовал в 1908 году, она включала 7 аксиом.

В 1910 году Цермело занимает кафедру математики в Цюрихском университете, где работает до 1916 года, после чего приостанавливает преподавание в связи с ухудшением состояния здоровья, и переехали в Шварцвальд, где живёт 10 лет.

В 1922 году немецкий математик Абрахам Френкель и норвежский математик Туральф Скулем усовершенствовали её до 10 аксиом, и в этом виде система аксиом Цермело – Френкеля считается основой современной математики.

Современная теория множеств строится на системе аксиом – утверждений, принимаемых без доказательства, – из которых выводятся все теоремы и утверждения теории множеств.

Система аксиом Цермело – Френкеля (ZF) является стандартной системой аксиом для теории множеств.

К этой системе аксиом часто добавляют аксиому выбора, и называют системой Цермело – Френкеля с аксиомой выбора (ZFC).

Если ZFC непротиворечива, то её непротиворечивость не может быть доказана средствами ZFC, согласно второй теореме Гёделя.

Назовем некоторые из аксиом Цермело – Френкеля, взяв на себя смелость, привести их в словесной формулировке:

1. Два множества тождественны,  если они состоят нз одних и тех же элементов.

2. Существует пустое множество.

3. Если А и В – множества, то неупорядоченная пара {А, В} также множество.

4. Объединение любого множества множеств есть множество.

5. Существуют бесконечные множества.

6. Любое свойство, формализуемое на языке теории, может быть использовано для определения множества.

7. Допускается образование множества подмножеств любого множества, т.е. набор всех подмножеств данного множества есть множество.

8. Аксиома выбора: Для всякого семейства Х непустых множеств существует функция f, которая каждому множеству семейства сопоставляет один из элементов этого множества.

9. А не принадлежит А.

Нельзя не отметить одну замечательную особенность аксиом Цермело – Френкеля: они не допускают к рассмотрению множест­во, которое содержит все множества, и тем самым, возможно, по­зволяют избежать парадоксов, подобных парадоксу Рассела, открытого им в 1903 году и вызвавшего сенсацию в математике:

Пусть K – множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента?

Широко известна популярная формулировка этого парадокса, предложенная самим Расселом:

Сельскому цирюльнику приказали брить всех тех и только тех жителей села, которые не бреются сами. Должен ли цирюльник брить самого себя?

В 1925 году венгерский математик Джон фон Нейман дополнил теорию ZFC аксиомой регулярности. Одно из следствий этой аксиомы «похоронило» и «множество всех множеств», и «парадокс Рассела».

В 1926 году Эрнст Цермело возвращается к профессорской должности во Фрайбурге, но вновь отказывается от своего поста в 1935 году из-за его неодобрение гитлеровского режима. После крушения нацистского режима учёный возвращается к профессуре.

В 1931 году Цермело предложил решение классической навигационной задачи, носящей теперь его имя, и относящейся к проблемам оптимального управления. Задача имеет дело с навигацией лодки в водоеме, берущей начало пути от точки А до пункта назначения В. Необходимо получить наилучшее управление, чтобы достичь В за минимально возможное временя.

Без учета внешних сил, таких как течения и ветра, оптимальным направлением следует считать прямолинейный отрезок от А до В. С учетом течений и ветров, прямолинейный отрезок от А до В на самом деле, не является оптимальным решением.

Эрнст Цермело умер в возрасте 81 года 21 мая 1953 году во Фрайбурге.

Имя Цермело носят следующие математические объекты:

  • аксиома Цермело
  • теорема Цермело
  • теория множеств Цермело
  • навигационная задача Цермело
  • система аксиом Цермело – Френкеля.

 

По материалам Википедии, сайта www-history.mcs.st-andrews.ac.uk и книги М. Клайна «Математика. Утрата определённости» (Москва, «Мир», 1984).

 

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Новый раздел на сайте math4school.ru

Закончена работа над новым разделом сайта Работа над ошибками.

Союз образовательных сайтов