Math    schooL

 

 

Земля и апельсин

 

Земля и апельсин.

 

Задача, которая будет рассмотрена ниже, – весьма проста и понимание её решения не требует сколько-нибудь серьёзного уровня математической подготовки. И, тем не менее, присутствие этой задачи в разделе Магия математики, весьма оправдано, потому что парадоксальность вывода, к которому мы придём, и его упорное несоответствие здравому смыслу на первый взгляд просто удивительны.

Итак, вообразим, что земной шар обтянут по экватору обручем, и подобным же образом обтянут апельсин по его большому кругу. Далее вообразим, что окружность каждого обруча удлинилась на 1 метр. Тогда, разумеется, обручи отстанут от поверхностей тел, которые они раньше стягивали, и образуется некоторый зазор. Спрашивается, в каком случае этот зазор будет больше – у земного шара или у апельсина?

Здравый смысл подсказывает такой ответ: "Конечно, у апельсина образуется больший зазор, чем у Земли! Ведь в сравнении с длиной экватора земного шара – более 40 000 км – какой-нибудь один метр есть столь ничтожная величина, что прибавка её останется совершенно незаметной. Другое дело апельсин: по сравнению с его окружностью один метр – весьма существенная величина, и прибавка её к длине окружности, конечно, должна быть ощутима".

Однако давайте проверим этот вывод с помощью несложных вычислений. Пусть длина окружности земного шара равна L, а апельсина l метрам. Тогда радиус Земли и радиус апельсина равны соответственно:  

R L    и    r l
2π 2π

После прибавки к обручам одного метра окружность обруча у Земли будет (L + 1), а у апельсина (l + 1), новые радиусы же R' и r' будут равны 

R'  L + 1    и    r'  l + 1
2π 2π

Если из новых радиусов вычтем прежние, то получим в обоих случаях одно и то же их изменение: 

R' – R =  L + 1  –  L  =  1  – для земного шара,
2π 2π 2π
r' – r =  l + 1  –  l  =  1  – для апельсина.
2π 2π 2π

Итак, и у Земли, и у апельсина получится один и тот же зазор в 1/2π метра, что чуть меньше 16 сантиметров. "Просто и удивительно! Вот уж действительно – магия," – восторженно воскликнет зритель.

А между тем, мы столкнулись с фактом, вытекающим из постоянства отношения длины окружности к её радиусу. Эффект же этой задачи объясняется отношением абсолютной величины зазора в 16 см к размерам апельсина и размерам земного шара. В первом случае – это весьма заметно, во втором – ничтожно мало. Если же взять бесконечно малый шар (точку), радиус и длина большой окружности которого равны нулю, то радиус увеличенного обруча будет равен величине установившегося зазора в 1/2π метра, что бесконечно больше чем ноль. Так что обвинять здравый смысл в полном отсутствии здравости всё же нельзя.

 

   <<< Назад   

 

Группа Математика для школы|math4school.ru ВКонтакте

Давно собирался и вот, наконец! Примерно так выглядит история нашей группы ВКонтакте. Сомнения в необходимости её существования отброшены, и первые материалы сообщества уже выложены.

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.