Math    schooL

 

 

Уравнения

 

Уравнения

 

Немного теории

При решении и исследовании олимпиадных уравнений, помимо обычных школьных методов:

  • подстановки,
  • замены переменкой,
  • разложения на множители и других преобразований,

иногда используются соображения монотонности:

если функция у = f (x) – строго возрастает или строго убывает, то уравнения

f (p (x)) = f ( q (x))  и  p (x) = q (x)

равносильны.

При решении уравнений и систем уравнений иногда бывают полезны:

  • геометрическая интерпретация,
  • учёт области допустимых значений переменной или области значений функций, входящих в уравнение,
  • соображения симметрии,
  • идеи цикличности,
  • выход на линейную комбинацию между переменными  и др.

 

Задачи с решениями

1. Решить уравнение:

а) (1 + х + х2) (1 + х + х2 + . . . + х10) = (1 + х + х2 + . . . + х6)2.

б) (x2 – x + 1)4 – 10x(x2 – x + 1)2 + 9x4 = 0.

в) (x + 1)63 + (x + 1)62 (x – 1) + (x + 1)61 (x – 1)2 + . . . + (x – 1)63 = 0.

а) Так как х = 1 – не корень, то умножим обе части уравнения на (х – 1)2. Получим:

3 – 1) (х11 – 1) = (х7 – 1)2,

х11 – 2х7 + х3 = 0,

х4 – 1)2 = 0,

х1 = 0,

х2 = –1,

х3 = +1 – посторонний корень, возникший в результате умножения на (х – 1)2.

Ответ: 0 и –1.

 

б) Пусть  y = (x2 – x + 1)2,  тогда  y2 – 10x2y + 9x4 = 0.  Решив это уравнение относительно y, получим:  

y1 = 9x2,  y2 = x2

Итак, данное уравнение свелось к двум следующим:

(x2 – x + 1)2 = 9x2  и  (x2 – x + 1)2 = x2,

то есть к четырём квадратным уравнениям: 

x2 – x + 1 = 3x,  x2 – x + 1 = – 3x,  x2 – x + 1 = x,  x2 – x + 1 = – x,

решить которые не представляет труда. 

Ответ:  –1, 1,  2 – 3,  2 + 3.

 

в) Умножив обе части уравнения на

(x + 1) – (x – 1) = 2, 

получим  

(x + 1)64 – (x – 1)64 = 0. 

Отсюда  

(x + 1) = ± (x – 1), 

то есть  x = 0.

Ответ: x = 0.

 

2. Решить уравнение:

sin x = х2 + х + 1.

Если х0 не принадлежит числовому промежутку [–1; 0], то  х02 + х0 + 1 > 1 > sin х0.

Если же х0 принадлежит промежутку [–1; 0], то  х02 + х0 + 1 > 0,  а  sin х0 < 0.

Значит, для любого действительного значения х0 имеет место  sin х0 < х02 + х0 + 1,  и исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

 

3. Сколько корней имеет уравнение:

(710 + 511) х2 – (1010 + 1311) х + 410 + 711 = 0?

Рассмотрим функцию

f (x) = (710 + 511) х2 – (1010 + 1311) х + 410 + 711.

Это квадратичная функция, графиком которой есть парабола, направленная ветвями вверх. Так как

f (1) = 10 – 11 < 0,

то парабола пересекает ось х в двух точках, а уравнение f (x) = 0 имеет два корня.

Ответ: два корня.

 

4. Известно, что уравнение  ax5 + bx4 + c = 0  имеет три различных корня. Докажите, что и  уравнение  cx5 + bx + a = 0  также имеет три различных корня.

Число  x = 0  не может быть корнем уравнения  

ax5 + bx4 + c = 0,

так как иначе  c = 0,  и уравнение имеет не более двух различных корней, что противоречит условию. Разделив обе части этого уравнения на x5, получаем, что

a + b/x + c/x5 = 0.

Следовательно, если x1, x2 и x3 – различные корни уравнения  ax5 + bx4 + c = 0,  то 1/x11/x2 и 1/x3 – различные корни уравнения  

cx5 + bx + a = 0.

 

5. При каком положительном значении p уравнения  3x2 – 4px + 9 = 0  и  x2 – 2px + 5 = 0  имеют общий корень?

Общий корень указанных уравнений должен быть и корнем уравнения  

(3x2 – 4px + 9) – 3(x2 – 2px + 5) = 0,

равносильного уравнению

2px – 6 = 0.

Значит, х = 3/p.  Подставив это значение х, например, во второе уравнение, получим  9/p2 = 1,  откуда  p = 3.

Ответ: 3. 

 

6. Решить уравнение:

5х + 12х = 13х.

Способ 1.

Легко заметить, что, по крайней мере, одно решение это уравнение имеет, это х = 2. Докажем, что других решений нет. Запишем данное уравнение в виде:

(5/13)x + (12/13)x = 1.

Если x < 2, то

(5/13)х > (5/13)2,  (12/13)х > (12/13)2

и, следовательно,

(5/13)x + (12/13)x > (5/13)2 + (12/13)2 = 1.

Аналогично, если x > 2, то

(5/13)x + (12/13)x < (5/13)2 + (12/13)2 = 1.

Итак, х = 2 – единственный корень.

 

Способ 2.

Записав уравнение в виде

(5/13)x + (12/13)x = 1,

видим, что имеет единственное решение х = 2. Действительно, число х = 2  удовлетворяет   уравнению. С другой стороны, функция

f (х) = (5/13)x + (12/13)x

является строго убывающей, потому что является суммой двух строго убывающих функций, и, следова­тельно, значение 1 принимает только один раз при х = 2.

 

Способ 3.

Можно ввести обозначения:

5/13 = sin α,  12/13 = cos α.

Тогда уравнение

(5/13)x + (12/13)x = 1,

равносильное исходному, примет следующий вид:

(sin α)x + (cos α)x = 1,

а это уравнение имеет единственное решение х = 2.

Ответ: 2.

 

7. Решить уравнение:

а) 8х (3х + 1) = 4.

б) 4 lg x – 32 + x lg 4 = 0.

а) Число х = 1/3 является решением данного уравнения. Докажем, что других решений нет.

При х > – 1/3 функции

у1 (х) = 8х  и  у2 (х) = 3х + 1

принимают положительные значения и возрастают, следовательно, их произведение (левая часть уравнения) также является возрастающей функцией.

Поэтому на промежутке (– 1/3; + ∞) уравнение не может иметь более одного решения.

Далее, при х <1/3 имеем у1(х) > 0, у2(х) < 0, а значит,  у1(х) · у2(х) < 0.  

Поэтому на промежутке (– ∞; – 1/3] уравнение не имеет решений. Таким образом, получаем единственное решение: 1/3.

Ответ: 1/3

 

б) Область допустимых значений х является  х > 0  и х ≠ ±1.  Имеет место

4 lg x = x lg 4 .

Для доказательства этого равенства достаточно прологарифмировать обе части равенства по основанию 10. В таком случае

4 lg x – 32 + 4 lg x = 0,

4 lg x = 16,

4 lg x = 42,

lg x = 2,

х = 100.

Ответ: 100.

 

8. Докажите, что уравнение :

а) х10 – х7 + х2 – х + 1 = 0  не имеет действительных корней;

б) (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0  для любых действительных значений a, b, c имеет хотя бы одно решение;

в) х4 + 5х3 + 6х2 – 4х – 16 = 0  имеет ровно два решения.

а) Рассмотрим функцию

f (х) = х10 – х7 + х2 – х + 1.

При х0 ∈ (– ∞; 0] имеем f (х0) > 0.

При х0 ∈ (0; 1) имеем f (х0) = (1 – х0) + (х02 – х07) + х010 > 0.

При х0 ∈ [1; + ∞) имеем f (х0) = (х010 – х07) + (х02 – х0) + 1 > 0.

Значит для любого действительного х0 верно, что f (х0) > 0 и, следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

 

б) Обозначим

f (x) = (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a).

Без ограничения общности можно считать, что а < b < с.

Если а = b или b = с, то  f (b) = (b – c)(b – a) = 0.

Если же а < b < с, то f (b) < 0 и f (а) = (а – b)(а – c) > 0.

Так как функция f(x) непрерывна, то существует такое число х0 из промежутка (а; b), что

f(x0) = 0,

что и требовалось доказать.

Замечание. Это уравнение можно встретить в задаче с несколько иной формулировкой на странице Квадратный трёхчлен.

 

в) Докажем, что функция

f (x) = х4 + 5х3 + 6х2 – 4х – 16

принимает значение 0 ровно в двух точках. Для этого исследуем производную этой функции

f′(x) = 4х3 + 15х2 + 12х – 4 = (x + 2)2(4х – 1).

При х < –2 и при –2 < х < 1/4 имеет место неравенство f′(x) < 0,

при х > 1/4 – неравенство f′(x) > 0. Поэтому функция f(x) убывает па интервале (– ∞; 1/4) и возрастает на интервале (1/4; + ∞).

Поскольку

f (–10) > 0,  f (10) > 0  и  f (1/4) < f (0) < 0,

то на каждом из двух указанных интервалов функция f (х) однажды принимает значение 0, а уравнение f (х) = 0 имеет ровно два решения, что и требовалось доказать.

 

9. Сколько корней на отрезке  [0, 1]  имеет уравнение  8(1 – 2x2) (8x4 – 8x2 + 1) = 1?

Заметим, что  

8x4 – 8x2 + 1 = 2(2x2 – 1)2 – 1. 

Сделав замену  x = cos φ, исходное уравнение перепишем в виде: 

8 cos φ cos 2φ cos 4φ = – 1.

Умножая обе части на sin φ, получим 

sin 8φ = – sin φ, 

8φ = – φ + 2kπ  или  8φ = π + φ + 2kπ,

то есть

x = cos 2kπ/9   или   x = cos (π/7 + 2kπ/7). 

На отрезке  [0, 1]  лежат четыре корня уравнения:  

cos 2π/9, cos 4π/9, cos π/7  и  cos 3π/7

(корень  x = 1  – посторонний, он возник при умножении на sin φ).

Замечание: Всего указанное уравнение 7-й степени имеет 7 корней: к указанным в решении добавляются еще 

cos 2π/3 = – ½,  cos 8π/9 = – cos π/9  и  cos 5π/7 = – cos 2π/7

Ответ: Четыре корня.

 

10. Решить уравнение:

а) х4 + 8х3 + 18х2 + 11х + 2 = 0:

б) х4 – 4х3 – 1 = 0.

а) Разложим левую часть уравнения на множители. Для этого представим её в виде:

х4 + 8х3 + 18х2 + 11х + 2 = (х2 + ах + b) (х2 + cх + d),

где a, b, c, d подберём методом неопределённых коэффициентов. Имеем:

х4 + 8х3 + 18х2 + 11х + 2 = х4 + (a + c) x3 + (b + d + ac) x2 + (ad + bc) x + bd.

Одно из решений системы

a + c = 8,

b + d + ac = 18,

ad + bc = 11,

bd = 2;

подбираем методом подбора:

a = 5, b = 2, c = 3, d = 1,

(находить все её решения не обязательно). Значит,

х4 + 8х3 + 18х2 + 11х + 2 = (х2 + 5х + 2) (х2 + 3х + 1),

а исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:

х2 + 5х + 2 = 0  и  х2 + 3х + 1 = 0,

решение которых элементарно.

Ответ: х1,2 = –5 ±17/2,  х3,4 = –3 ±5/2.

 

б) Введём новую переменную

t = x – 1,  x = t + 1,

и получим

(t + 1)4 – 4(t + 1)3 – 1 = 0,

t4 – 6t2 – 8t – 4 = 0.

Разложим левую часть уравнения на множители. Для этого представим её в виде:

t4 – 6t2 – 8t – 4 = (t2 + а)2 – (bt + c)2,

где a, b, c подберём методом неопределённых коэффициентов. Имеем:

t4 – 6t2 – 8t – 4 = t4 + (2a + b2) t2 – 2bc t + a2 – c2.

Найдём одно из решений системы

2a – b2 = –6,

bc = 4,

a2 – c2 = –4.

Решая эту систему находим:

а = –2,  b = 2,  с = 22 .

Значит,

t4 – 6t2 – 8t – 4 = (t2 – 2)2 – (2t + 22)2 = (t22t – 22 – 2) (t2 + 2t + 22 – 2) = 0,

а уравнение

t4 – 6t2 – 8t – 4 = 0

равносильно совокупности уравнений:

t22t – 22 – 2 = 0  и  t2 + 2t + 22 – 2 = 0,

первое из которых имеет корни:

t1,2 = 2 ± 10 + 8√2/2 ,

а второе корней не имеет.

И, наконец, x1,2 = t1,2 + 1 = 2 ± 10 + 8√2/2 + 1 =  2 + 2 ± 10 + 8√2/.

Ответ: x1,2 = 2 + 2 ± 10 + 8√2/2.

 

Задачи без решений

1. Решить уравнение  2 sin х = 5х2 + 2х + 3.

 

2. Решить уравнение  x3 + x2 + x + 1/3 = 0.

 

3. Решить уравнение  41 – x + 41 + x = 4.

 

4. Сколько действительных корней имеет уравнение  х13 = а (1 + х14)  для каждого действительного а?

 

5. Доказать, что уравнение  x – а sin x – b = 0  при 0 < a < 1, b ∈ R имеет не более одного действительного корня.     

 

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Новый раздел на сайте math4school.ru

Закончена работа над новым разделом сайта Работа над ошибками.

Союз образовательных сайтов