Math    schooL

 

 

Трудная задача

 

Картина русского художника-передвижника, академика живописи Николая Петровича Богданова-Бельского (1868–1945)

Устный счёт

Картина русского художника-передвижника, академика живописи Николая Петровича Богданова-Бельского (1868–1945) "Устный счёт. В народной школе С.А. Рачинского" известна многим. На картине изображена деревенская школа конца XIX века во время урока арифметики при решении дроби в уме. 

Учитель – реальный человек, Сергей Александрович Рачинский (1833–1902), ботаник и математик, профессор Московского университета. На волне народничества в 1872 году Рачинский вернулся в родное село Татево, где создал школу с общежитием для крестьянских детей, разработал уникальную методику обучения устному счёту, прививая деревенским ребятишкам его навыки и основы математического мышления. Эпизоду из жизни школы с творческой атмосферой, царившей на уроках, и посвятил своё произведение Богданов-Бельский, сам в прошлом ученик Рачинского.

Однако, при всей известности картины мало кто из видевших её вникал в содержание той "трудной задачи", которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления: 

102 + 112 + 122 + 132 + 142
365

Талантливый педагог культивировал в своей школе устный счет, основанный на виртуозном использовании свойств чисел.

 

Картина Богданова-Бельского

 

Числа 10, 11, 12, 13 и 14 обладают любопытной особенностью:

102 + 112 + 122 = 132 + 142.

Действительно, так как

100 + 121 + 144 = 169 + 196 = 365,

то легко рассчитать в уме, что воспроизведенное на картине выражение равно 2.

Википедия для подсчета значения числителя предлагает следующий способ:

102 + 112 + 122 + 132 + 142 =

= 102 + (10 + 1)2 + (10 + 2)2 + (10 + 3)2 + (10 + 4)2 =

= 102 + (102 + 2·10·1 + 12) + (102 + 2·10·2 + 22) + (102 + 2·10·3 + 32) + (102 + 2·10·4 + 42) =

= 5·100 + 2·10·(1 + 2 + 3 + 4) + 12 + 22 + 32 + 42 =

= 500 + 200 + 30 = 730 = 2·365.

Как по мне, – слишком мудрено. Проще поступить иначе:

102 + 112 + 122 + 132 + 142 =

= (12 – 2)2  + (12 – 1)2 + 122 + (12 + 1)2  + (12 + 2)2 =

= 5·122 + 2·4 + 2·1 = 5·144 + 10 = 730,

а далее уже

730  = 2.
365

Приведенные рассуждения вполне можно осуществить устно – 122, конечно, нужно помнить, удвоенные произведения квадратов двучленов слева и справа от 122 взаимно уничтожаются и их можно не считать, а 5·144 = 500 + 200 + 20, – не сложно.

Воспользуемся этим приемом и устно найдем сумму:

482 + 492 + 502 + 512 + 522 = 5·502 + 10 = 5·2500 + 10 = 12510.

Усложним:

842 + 872 + 902 + 932 + 962 = 5·8100 + 2·9 + 2·36 = 40500 + 18 + 72 = 40590.

 

Ряд Рачинского

Алгебра дает нам средство поставить вопрос об этой интересной особенности ряда чисел

10,  11,  12,  13,  14

более широко: единственный ли это ряд из пяти последовательных чисел, сумма квадратов первых трех из которых равна сумме квадратов двух последних?

Обозначив первое из искомых чисел через x, имеем уравнение

x2 + (х + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2.

Удобнее, однако, обозначить через х не первое, а второе из искомых чисел. Тогда уравнение будет иметь более простой вид

(x – 1)2 + x2 + (x + 1)2 = (x + 2)2 + (x + 3)2.

Раскрыв скобки и сделав упрощения, получаем:

x2 – 10x – 11 = 0,

откуда

х1 = 11, x2 = –1.

Существуют, следовательно, два ряда чисел, обладающих требуемым свойством: ряд Рачинского

10,  11,  12,  13,  14

и ряд

–2,  –1,  0,  1,  2.

В самом деле,

(–2)2 +(–1)2 + 02 = 12 + 22.

 

Два!!!

Закончить я хотел бы светлыми и трогательными воспоминаниями автора авторского блога В. Искры в статье О квадратах двузначных чисел и не только о них…

 

Когда-то, в году примерно 1962-м, наша «математичка», Любовь Иосифовна Драбкина, дала эту задачу и нам, 7-классникам. 

Я тогда очень увлекался только что появившимся КВН-ом. Болел за команду подмосковного города Фрязино. «Фрязинцы» отличались особым умением применять логический «экспресс-анализ» для решения любой задачи, «вытягивания» самого каверзного вопроса. 

Быстро посчитать в уме я не мог. Однако, применив «фрязинский» метод, я прикинул, ответ должен выражаться целым числом. Иначе - это уже не «устный счет»! Этим числом не могла быть единица – даже если бы в числителе стояли одинаковые 5 сотен, ответ получался явно больше. С другой стороны, и до числа «3» он явно де дотягивал. 

– Два!!! – выпалил я, на секунду опередив моего друга, Леню Струкова, лучшего математика нашей школы. 

– Да, действительно два, – подтвердил Леня. 

– Как Вы считали? – спросила Любовь Иосифовна. 

– Я никак не считал. Интуиция – ответил я под хохот всего класса. 

– Если не считал – ответ не считается – «скаламбурила» Любовь Иосифовна. Леня, а ты тоже не считал? 

– Нет, почему же, степенно ответил Леня. Надо было сложить 121, 144, 169 и 196. Я попарно сложил числа первое и третье, второе и четвертое. Так удобнее. Получилось 290+340. Общая сумма, включая первую сотню – 730. Делим на 365 – получаем 2. 

– Молодец! Но на будущее запомните – в ряду двузначных чисел – у первых пяти его представителей – есть удивительное свойство. Сумма квадратов первых трех чисел ряда (10, 11 и 12) равна сумме квадратов следующих двух (13 и 14). И равняется эта сумма 365. Легко запомнить! Столько дней в году. Если год не високосный. Зная это свойство, ответ можно получить за секунду. Без всякой интуиции… 

* * * 

…Прошли годы. Наш город обзавелся своим «Чудом Света» – мозаичными картинами в подземных переходах. Переходов было много, картин – еще больше. Темы были самыми разными – оборона Ростова, космос… В центральном переходе, под перекрестком Энгельса (сейчас – Большая Садовая) – Ворошиловский сделали целую панораму об основных этапах жизненного пути советского человека – родильный дом – детский сад - школа, выпускной бал…

На одной из «школьных» картин можно было увидеть знакомую сцену – решение задачи… Назовем ее так: «Задача Рачинского»…

…Проходили годы, проходили люди… Веселые и грустные, молодые и не очень. Кто-то вспоминал свою школу, кто-то при этом «шевелил мозгами»…

Замечательно поработали мастера-плиточники и художники, которыми руководил Юрий Никитович Лабинцев!

Сейчас «ростовское чудо» «временно недоступно». На первый план вышла торговля – в прямом и переносном смысле. Все же, будем надеяться, что в этом расхожем словосочетании – главным является слово «временно»…

 

Источники: Я.И. Перельман. Занимательная алгебра ( Москва, «Наука», 1967), Википедия, авторский блог В.Искры.

 

  <<< Назад

 

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Новый раздел на сайте math4school.ru

Закончена работа над новым разделом сайта Работа над ошибками.

Союз образовательных сайтов