Math    schooL

 

 

Тремя одинаковыми цифрами

 

Тремя одинаковыми цифрами, не употребляя знаков действий, написать возможно большее число

 

Всем, вероятно, известно, как следует написать три цифры, чтобы изобразить ими возможно большее число. Надо взять три девятки и расположить их так:

999 ,

т.е. написать третью "сверхстепень" от 9.

Число это столь чудовищно велико, что никакие сравнения не помогают уяснить себе его грандиозность. Число электронов видимой вселенной ничтожно по сравнению с ним.

Поставим перед собой иную задачу. Тремя одинаковыми цифрами, не употребляя знаков действий, написать возможно большее число.

И начнём с первого нетривиального случая – с двоек.  


Тремя двойками

Под свежим впечатлением трехъярусного расположения девяток мы, вероятно, готовы дать и двойкам такое же расположение:

222

Однако на этот раз ожидаемого эффекта не получается. Написанное число невелико – меньше даже, чем 222. В самом деле: ведь мы написали всего лишь 24, то есть 16.

Подлинно наибольшее число из трех двоек – не 222 и не 222 = 484, а 

222 = 4194304.

Пример очень поучителен. Он показывает, что в математике опасно поступать по аналогии; она легко может повести к ошибочным заключениям.

 

Тремя тройками

Теперь мы осмотрительнее приступите к решению следующей задачи:

Тремя тройками, не употребляя знаков действий, написать возможно большее число.

Трехъярусное расположение и здесь не приводит к ожидаемому эффекту, так как 

333 = 327, меньше чем 333.     

Последнее расположение и дает ответ на вопрос задачи.

 

Тремя четвёрками

Постановка задачи:

Тремя четверками, не употребляя знаков действий, написать возможно большее число.

Если в данном случае мы поступим по образцу двух предыдущих задач и дадим ответ:

444,

то ошибёмся, потому что на этот раз трехъярусное расположение

444

как раз дает большее число. В самом деле,

44 = 256,  а  4256 > 444.

 

Тремя цифрами а

Попытаемся углубиться в это озадачивающее явление и установить, почему одни цифры порождают числовые исполины при трехъярусном расположении, другие – нет. Рассмотрим общий случай:

Тремя одинаковыми цифрами, не употребляя знаков действий, изобразить возможно большее число.

Обозначим цифру буквой а. Расположению

222, 333, 444

соответствует написание

ааа = а10а а = а11а.

Расположение же трехъярусное представится в общем виде так:

ааа.

Определим, при каком значении а последнее расположение изображает большее число, нежели первое. Так как оба выражения представляют степени с равными целыми основаниями, то большая величина отвечает большему показателю. Когда же

аа > 11a ?

Разделим обе части неравенства на а. Получим:

аа – 1 > 11.  

Легко видеть, что аа – 1 больше 11 только при условии, что а больше 3, потому что

4– 1 > 11,

между тем как степени 3и 2меньше 11.

Теперь понятны те неожиданности, с которыми мы сталкивались при решении предыдущих задач: для двоек и троек надо было брать одно расположение, для четверок и больших чисел – другое.

 

Источник: Я.И. Перельман. Занимательная алгебра (Москва, "Наука", 1970)

 

   <<< Назад 

 

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Новый раздел на сайте math4school.ru

Закончена работа над новым разделом сайта Работа над ошибками.

Союз образовательных сайтов