Math    schooL

 

 

Сангаку. Священная математика

 

Сангаку

Период Эдо 

Первый осенний дождь.
И обезьяна хочет
Маленький соломенный плащ.

М. Басё

 

Период Эдо (1603–1867) – это период истории Японии начавшийся с приходом к власти сёгуната Токугава и проведением им политики сакуку: закрытием всех государственных границ, прекращение всех возможных торговых и культурных связей с внешним миром, период полной изоляции Японии. Однако именно эта полная культурная изоляция привела к бурному расцвету во многих областях культуры японского народа. Именно в этом периоде появляются ярчайшие представители японской культуры: в литературе – Мацуо Басё (1644 – 1694), в живописи – Кацусика Хокусай (1760 – 1849), в математике – Секи Кова (1642 – 1708).

Кацусика Хокусай. Ирисы и луговая цикада. Гравюра. Около 1832

Кацусика Хокусай. Ирисы и луговая цикада. Гравюра, около 1832 года       

 

Период изоляции привёл также к созданию уникальной японской математической школы – васан (в отличие от западной – иосан). Васан – независимый вид математики, а точнее, математических традиций, распространенный и успешно развивавшийся в Японии в период Эдо. Ряд математических достижений японскими математиками были осуществлены в одно и то же время со своими европейскими коллегами, а некоторые даже раньше. Однако, с наступлением эпохи Мэйдзи (1868 – 1912) границы Японии вновь открылись для западного влияния и учеными была позаимствована европейская математическая традиция, нивелировавшая значимость оригинальных методов, созданных в рамках васан.

 

Секи Такакадзу (ок. 1642 – 1708)

Секи Такакадзу (Секи Кова) (ок. 1642 – 1708)

Уровень васан испытал резкий скачок в конце XVII века, в основном – благодаря работам Секи Такакадзу (известного так же как Секи Кова или Сэки Кова), самого известного математика Японии. О силе Секи рассказывается множество историй, однако, как и к историям про юного Гаусса, к ним стоит относиться с долей скептицизма. Большинство работ Секи было опубликовано посмертно его учениками, и поскольку математики в Японии традиционно проявляли уважение к своим учителям, всегда трудно в точности узнать, что сделал он, а что – не он. Точные дата и место рождения Секи неизвестны, но он был современником Ньютона и Лейбница. 

Происходя из самураев, он был в детстве принят в благородную семью Секи Городзаэмона, и далее действовал под этой фамилией. Впоследствии он работал с казной клана Кофу, главой которого был лорд Токугава Цунасигэ. В 1704 году Секи был взят на работу, как самурай сёгуната, в правительство Токугава, и работал два года казначеем среднего уровня. В 1706 году он вышел в отставку, а в 1708 – умер. 

Секи возмужал в подходящий момент, как раз в эру Гэнроку, и у него была возможность изучить обильное количество математических книг, которые тогда издавались. В 1672 году, когда ему было около 30 лет, он написал свою первую рукопись. Из книг Секи при его жизни была опубликована лишь одна. Умирая, он оставил 21 книгу в рукописях, включая 7 по астрономии. В 1712 году его ученик Араки Мурахидэ опубликовал 4 тома работ Секи под заглавием "Коллекция важных математических результатов". Именно из этой коллекции и известно о многих достижениях Секи.

Хотя иногда и появляются сомнения в ассоциации имени Секи с изобретением энри (определённого интеграла), несомненно, что именно он первым разработал теорию определителей, за десятилетие до Лейбница. С помощью своего собственного способа вписывания правильных многоугольников в окружность получил значение π = 3,14159265359, правильно вычислив 11 его значащих цифр. Он, также, открыл числа Бернулли до Якоба Бернулли, и схему Горнера за 150 лет до того как эта процедура стала известна на Западе, после того, как английский школьный учитель Уильям Горнер (1786 – 1837) опубликовал её в 1830-м году.

    Оригинальные обозначения Секи для определителей                      Один из подлинных чертежей Секи для 15-угольника 
из его рукописи 1633 года "Кайфуку дай"                                                           из его книги "Кацуё: санпо"          

   

Увы, Япония в эпоху Эдо сохраняла  средневековый, к тому же изолированный от внешнего мира, жизненный уклад. Возможно, именно поэтому достижения Секи Ковы не получили дальнейшего развития, и японские математики стали вновь показывать результаты мирового уровня только в 20 веке, включившись в общемировой научный процесс. 

 

Приношения богам 

Надо заметить, что математика XVII века и в Японии, и в Европе была весьма своеобразным интеллектуальным занятием, сохранившим в себе нечто от цеховых традиций средневековья. Обычной была ситуация, когда отдельные мастера, придумав какую-нибудь  сложную задачу, бросали публичный вызов своим собратьям по цеху, предлагая им найти решение и показать своё мастерство. Методы решения задач держались в тайне от соперников, – точно так же, как любой цеховой мастер оберегал тайны своего профессионального мастерства. Пьер Ферма унёс с собой многие тайны своего искусства; и многочисленные открытия Ньютона ждали своей публикации не один десяток лет.

Однако к концу XVII века занятия математическими науками в Европе стали приобретать  принципиально иную форму. «Вызовы на задачу» сменились публикациями в научных журналах. Теперь учёный, развивший новый метод, не хранил его в секрете как своё «тайное оружие», но сразу же раскрывал свои результаты перед коллегами в статье, утверждавшей его приоритет. Так европейская математика из интеллектуального досуга одарённых любителей науки  стала постепенно превращаться в фабрику по систематическому и целенаправленному производству новых знаний, и на смену учёным-любителям  пришли профессионалы, группировавшиеся  в XVIII веке  вокруг нескольких крупных академий, а в XIX веке – вокруг многочисленных университетов. 

Однако в Японии переход к новым формам организации научной жизни в это же самое время не произошёл. Тогда как страны Запада активно шли вперёд по новому пути развития, самурайская Япония в эпоху Эдо изолировалась от западного мира, сохраняя  средневековый  жизненный уклад. Обычной была ситуация, когда отдельные мастера, придумав какую-нибудь сложную задачу, бросали публичный вызов своим собратьям по цеху, предлагая им найти решение и показать своё мастерство. Рисунки к этим задачам, а это как правило были геометрические задачи, красиво раскрашивались на деревянных досках и вывешивались в синтоистских храмах как дар богам ками.

Сангаку в храмах префектур Фукусима и Мияги

Сангаку (1893), префектура Фукусима                                              Сангаку (1846), префектура Мияги       

 

Японцы считают, что безымянных синтоистских божеств ками – восемь миллионов, и все они тайно странствуют по земле. Когда человеку открывается что-то прекрасное, это означает, что рядом с ним прошло незримое божество. Как пишут в предисловии к своей книге собиратели и исследователи задач японской храмовой геометрии Х. Фукагава и Д. Педое

чувство формы и восприятие природной красоты всегда отличали жителей Японии, так что не удивительно, что геометрия, притягательная своей красотой и неочевидностью задач и теорем, стала для практикующих это искусство людей не только развлечением, но и подходящим предметом для приношений богам.

 

Сангаку

Чертежи к теоремам вырезались на деревянных досках и красиво раскрашивались. Такие деревянные таблички получили название сангаку (или сан гаку, буквальный перевод: счётная или математическая дощечка).

Сангаку в красивой резной раме

Сангаку

Не все доски посвящены геометрическим задачам: на некоторых решались диофантовы уравнения или отыскивались объёмы криволинейных тел. На большинстве досок приводился только результат, а доказательство отсутствовало. Готовые доски вывешивались над входом в синтоистское святилище или буддистский храм в качестве приношения богам, а заодно – и вызова коллегам.

Структура сангаку почти всегда одинакова. После посвящения, справа налево следуют один за другим раскрашенные чертежи, под каждым из них условие задачи и ответ. Задачи предполагались вызовом: «Попробуй реши» – для своих учеников или коллег. Каждая  табличка  содержит  от  одной  до 16 – 18 задач  разной  степени трудности, иногда, весьма трудных.

СангакуЗадачи васан можно было найти не только в храмах. В эпоху Эдо 12 сборников задач сангаку было издано в печати, и сотни других задач остались в неопубликованных рукописях. Более того, авторы, вывешивавшие новые сангаку, безжалостно убирали задачи из более ранних коллекций. Ни об этих табличках, ни о книгах не следует думать, как о текстах в современном смысле; они никоим образом не составляют связного изложения васан. На отдельной сангаку задача, доступная 12-летнему ребёнку, может соседствовать с задачей, которая поставит в тупик выпускника университета. Частично, причина этого в том, что сангаку часто создавались группами людей с разными уровнями подготовки.

Круг основных идей японской храмовой геометрии довольно разнообразен и немного непривычен для геометра, воспитанного на традициях, теоремах и картинках западной геометрической школы, преимущественно унаследованной от древних греков. Первое бросающееся в глаза отличие – это повышенное внимание японских геометров  к  окружностям и эллипсам: как правило, ни одна табличка сангаку не обходится без задач об окружностях. Более того, количество окружностей в одной задаче может быть довольно велико, а иногда подразумеваться и бесконечным.

Сангаку с окружностями

Хотя техника работы с окружностями не выходит за круг метрических теорем, не устаёшь удивляться наблюдательности и изощрённости создателей сангаку. В отличие от западной математики, в васан нет теорем о пересечении  нескольких  прямых  в  одной  точке  и  не  фигурируют другие коники, кроме эллипса. Возможно, это связано с тем, что в Японии эллипс мыслился не как сечение конуса, что привычно для западной геометрии, но как сечение цилиндра. 

Многие из теорем сангаку по своим темам и стилю заметно отличаются от теорем, известных в геометрии Запада, а некоторые из них повторяют достижения европейской математики Нового времени. Японскими геометрами были открыты и доказаны многочисленные теоремы о цепях Штейнера, которые в европейской геометрии доказывались с помощью метода инверсии. Характерным было также использование пространственных образов при доказательстве планиметрических теорем. В частности, возможно, что в качестве аналога метода инверсии японские математики использовали стереографическую проекцию.

Сангаку. Священная математика

Вообще же метод открытия геометрических теорем, практиковавшийся японскими геометрами, основывался на интенсивной и продолжительной  концентрации  на  рассматриваемом чертеже. Когда одного геометра спросили, как он получил свои замечательные теоремы об эллипсах, он ответил, что не размышлял ни над чем, кроме эллипсов, в течение последних десяти лет! Интересно, что когда японские геометры получили в свои руки китайский перевод «Начал» Евклида, они были очень сильно удивлены. «Зачем, – сказали они, – доказывать такие очевидные факты, когда есть ещё столько красивых и сложных геометрических теорем?»

Среди задач сангаку изредка встречаются арифметические задачи. Предполагалось  решение  этих задач с помощью соробана – японских счёт. 

Соробан

Соробан – японские счёты (абак). В дословном переводе с японского языка – «счётная доска».
Происходит от китайского суаньпаня, завезённого в Японию в Средние века.

 

Интересно, что соробан сегодня переживает настоящее возрождение: не только по всей Японии, но и во всём мире открываются школы по обучению счёта на соробане. Соробан введён как общеобязательный предмет в младших классах японских школ наряду с чтением, письмом и каллиграфией. Соробан является самым быстрым в мире механическим счётным устройством и неотъемлемой частью японской культуры.

Следующая табличка посвящена единственной арифметической задаче: 

сангаку с соробаном и задачей 

На этой табличке изображён соробан с отложенным на его костяшках  47-значным числом 

91946386013242550864788847270067565925602430721.

Задача состоит в вычислении на соробане корня 16 степени из этого числа. Ответ: 753. Поистине фантастически виртуозная техника вычислений!

В сангаку 1807 года приводится алгебраическая задача решения системы уравнений в целых числах 

x – y = 61741,

y – z = 14197,

 7x  +  7y  +  7z = 12.  

В табличке приведено решение 

x = 57 = 78125,   y = 47 = 16384,   z = 37 = 2187.

Кроме  того,  поставлена  задача  найти  все  решения этой системы при произвольных правых частях уравнений. Система сводится к уравнению 49-ой степени. Непростой задачей является уже получение этого уравнения.

В середине XVIII века население Эдо – будущего Токио – достигало 1 000 000 человек. Население Киото и Осаки составляло примерно по 400 000 человек. Наибольшее число дошедших до наших дней сангаку равно 880. Некоторые из задач еле заметны. Тот, кто не знает их достаточно хорошо, может ошибиться, глядя на плоскую деревянную дощечку. Число всех сангаку, созданных в период изоляции, составляет примерно 5000. Получается, что в среднем за 250 лет сакоку создавалось примерно 20 сангаку в год.

В течение более двух веков японские математики – профессионалы и любители, мужчины и женщины – создавали то, что по сути было такими покрытыми математикой витражами: деревянные таблички, украшенные прекрасными геометрическими задачами, являвшиеся одновременно и произведениями искусства, и религиозными дарами. Создатели сангаку вывешивали их десятками и сотнями в буддистских храмах и синтоистских святилищах по всей Японии, и по этой причине всё собрание задач сангаку стало известно, как храмовая геометриясвященная математика.

Сангаку. Священная математика

Рассмотрим далее несколько задач, взятых из сангаку.

 

Восемь окружностей

Шесть из восьми кругов имеют очевидные отношения между их радиусами. В порядке уменьшения длин радиусов:

1  :  2/ :  1/3.

Необходимо найти радиус двух маленьких окружностей по радиусу самой большой.


 Сангаку. Восемь окружностей.          Сангаку. Восемь окружностей. Решение 

 

Будем полагать, радиус самой большой окружности равным R = 3r. Тогда r – радиус каждой окружности в вертикальном триплете и 2r – радиус каждого из двух больших двойников. Пусть х – неизвестный радиус.

В ΔABO: 

AB = 2r + х,

OB = r,

ОA = 3r – х.

По теореме Пифагора:

AB2 = OB2 + ОA2,

(2r + х)2 = r2 + (3r – х)2,

 4r2 + 4rx + x2 = r2 + 9r2 – 6rx + x2,

10rx = 6r2,

х = 3r/5.

Так как R = 3r, то радиус наименьшей окружности выражается через радиус наибольшей окружности следующим образом:

х = R/5.

Ответ: х = R/5.

 

Квадрат и окружность в готическом куполе

Две четверти окружности, вписанные в квадрат, образуют фигуру, похожую на готический купол. В этот готический купол вписан квадрат и окружность, как показано на рисунке. Как относятся радиус этой окружности и сторона этого квадрата? 

Сангаку. Квадрат и окружность в готическом куполеСангаку. Квадрат и окружность в готическом куполе. Решение 

Будем полагать, что сторона большего квадрата равна 1, сторона меньшего квадрата GF = х и радиус окружности с центром в точке О равен r.

По теореме Пифагора из прямоугольного ΔAFG имеем:

AG2 = AF2 + FG2,

1 = (1/2 + х/2) 2 + х2,

1 = 1/4 + х/2 + х2/4 + х2,

4 = 1 +2x + х2 + 4х2,

5x² + 2x – 3 = 0.

Единственный положительный корень последнего квадратного уравнения х = 3/5.

Применим теорему Пифагора к ΔAMO и получим:

AO2 = AM2 + MO2,

(1 – r) 2 = (1/2) 2 + (х + r) 2,

(1 – r) 2 = (1/2) 2 + (3/5 + r) 2.

Последнее уравнение сводится к линейному уравнению с корнем r = 39/320.

Таким образом,

r/х = 39/320 : 3/5 = 13/64.

Ответ: 13/64.

 

Три касающиеся окружности

Три окружности с центрами А, В, С и радиусами a, b, c, соответственно, касаются друг друга и прямой l и расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что

1/a  +  1/b  =  1/c .  

Сангаку. Три касающиеся окружности

Возможно, это одна из наиболее известных задач среди тех, которые встречаются в сангаку. Редкая книга или статья о японской храмовой геометрии обходится без упоминания об этих трёх окружностях и прямой, попарно касающихся друг друга. Рассматриваемый результат, конечно, был известен ещё древним грекам, что никак не умаляет достижений японских математиков. Навряд ли мы узнаем, как к решению этой задачи подходили в период Эдо в Японии. Мы же выбрали технически простой способ доказательства – используются лишь теорема Пифагора и простейшие алгебраические преобразования, – но по-своему элегантный и тонкий. Ниже приведено изображение сангаку с этой жемчужиной васан:

Сангаку с задачей о трёх касающихся окружностях

Сангаку с задачей о трёх касающихся окружностях и прямой.       
Префектура Гумма, 1824 год       

 

Как видим на следующем рисунке, мы имеем дело с тремя прямоугольными треугольниками, гипотенузами которых служат отрезки попарно соединяющие центры данных окружностей. 

Сангаку. Три касающиеся окружности. Решение

Введём вспомогательные отрезки x и y, как показано на рисунке. Рассматривая треугольники сверху вниз и слева направо выпишем тройки их сторон:

a + b,  a – b, x + y;

a + c, a – c, x;

b + c, b – c, y.

Тогда из теоремы Пифагора следует справедливость системы:

(a + b)2 = (a – b)2 + ( x + y)2;

(a + c)2 = (a – c)2 + x2;

(b + c)2 = (b – c)2 + y2.

Откуда следует, что

4ab = (x + y)2;    

4ac = x2;    

4bc = y2.  

Или

2ab = x + y;    

2ac = x;    

2bc y,

что, в свою очередь, равносильно равенству

ab ac + bc.

Разделим обе части последнего равенства на  abс  и получим

1/с  =  1/b  + 1/а ,  

что и требовалось доказать.

 

Квадрат и четыре лунки

Около данного квадрата описана окружность. На каждой стороне квадрата, как на диаметре построено ещё четыре окружности. Докажите, что площадь квадрата равна сумме площадей четырёх полученных лунок. 

Сангаку. Квадрат и четыре лунки.

Рассмотрим часть приведённой в условии конструкции и докажем, что площадь одной лунки равна четверти площади данного квадрата. Откуда и будет следовать необходимое доказательство.

Сангаку. Квадрат и четыре лунки. Решение

 

Введём обозначения:

R = BC – радиус окружности, описанной около квадрата;

r = OC – радиус окружности, построенной на стороне квадрата, как на диаметре,

тогда

R2 = 2r2.

Площадь лунки ACMD равна площади полукруга ACD без площади сегмента CMD.

Так как

SAСD = 1/2 π r2

и

SCМD = SВCМD – SΔВCD =  1/4 π ВС21/2 СD · OB = 1/4 π · 2r21/2 · 2r · r = 1/2 π r2r2,

то

SACMD = SAСD – SCМD = 1/2 π r2 – (1/2 π r2r2) = r2 = SΔВCD,

что и требовалось доказать. 

Решить данную задачу можно и проще, если рассматривать её как комбинацию квадрата описанной окружности и четырёх равных полуокружностей и выражая их площади, например, через сторону квадрата. Попробуйте выполнить это самостоятельно. 

 

Три окружности в квадрате

Дан квадрат и три окружности размещённые в нём, как показано на рисунке. Докажите, что, если зелёные окружности равны, то и розовая окружность равна им.

Сангаку. Три окружности в квадрате

Это утверждение можно доказать с помощью свойств касательных к окружности. Но поиск этого решения оставим читателям. Мы же рассмотрим более прямолинейное доказательство, что называется "в лоб".  

Сангаку. Три окружности в квадрате. Решение    

Будем считать, что сторона квадрата в некоторых условных единицах длины составляет 1. Тогда очевидно, что

ВК =  3/4,  

KO1 = 1/4,  

BL = 1/2

Покажем, что

LO3 = 1/4.

Полагая

∠ KВO1 = α/2

имеем, из прямоугольного Δ KВO1

tg α/2 =  KO1/ ВК = 1/4 : 3/4 = 1/3.

Очевидно, что

∠ KВМ = ∠ ВМL = α

и

tg α = 3/4,

в чём можно убедиться с помощью формулы тангенса двойного угла и уже найденного значения tg α/2 .

В прямоугольном Δ ВМL:

LM = BL / tg α = 1/2 : 3/4 = 2/3,

BM2 = LM2 + BL2 = (2/3)2 + (1/2)2 = 25/36

и

BM = 5/6.

Так как

2SΔ ВMC = BC · ML = PΔ ВMC · LO3,

то

LO3 = BC · ML / PΔ ВMC = BC · ML / BC + 2BM = 1/4,

что и требовалось доказать. 

 

Источники: Ф. Хидэтоси, Т. Ротман "Священная математика" (Принстон и Оксфорд, Издательство Принстонского Университета, 2008); С.А. Беляев "Сангаку: японская храмовая геометрия" (сборник статей "Учимся математике - 3" Москва, МЦМНО, 2013); статья: А.И. Щетников "Японская храмовая геометрия";  Энциклопедия для детей. Математика. Том 11 (Москва, "Аванта", 2001) и сайт shogi.ru.

 

   <<< Назад

 

     Смотрите так же:

Свойства и признаки окружности

Окружность (справочные материалы)

 

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Новый раздел на сайте math4school.ru

Закончена работа над новым разделом сайта Работа над ошибками.

Союз образовательных сайтов