Math    schooL

 

 

Производная


Приращение аргумента и приращение функции

Определение производной

Основные правила дифференцирования

Таблица производных

Геометрический смысл производной

Физический смысл производной

Условия возрастания, убывания и постоянства функции

Точки экстремума и экстремумы функции

Схема исследования функции на монотонность и экстремумы

Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке

Схема исследования функции и построения её графика


Приращение аргумента и приращение функции

Приращение аргумента и приращение функции

Пусть функция  = f(x) определена в некоторых точках  х0  и  х0 + ΔxРазность

0 +  Δx) – х0

называется приращением аргумента в точке  x и обозначается  Δx.

Разность

f(x+ Δx) – f(x0)

называется приращением функции в точке  х0, соответствующее приращению аргумента  ΔxПриращение функции обозначается  Δf. Таким образом,

Δ= (х0 +  Δx) – х0

Δf  =  f(xΔx) – f(x0).

Например, если   f(x) = х2, то

Δf  =  f(xΔx) – f(x0) = (xΔx)2 – (x0)= (x0)2+ 2x0Δx + (Δx)2 – (x0)=

= 2x0Δx + (Δx)2.

В точке  x= для приращения аргумента  Δ= 0,1  приращение функции   f(x) = х2  составляет

Δf  = 2·1·0,1 + (0,1)2 = 0,2 + 0,01 = 0,21.


Определение производной

Производной функции  f(x)  в точке  x0  называется предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента при приращении аргумента стремящемся к нулю.

Производную функции  f(x в точке  x0  обозначают  f ′(x0)Таким образом, 

  f ′(x0)  =  lim Δx→0 
Δf 
 =  lim Δx→0 
f(xΔx) – f(x0)
Δx
Δx

где

x0 — значение аргумента, принадлежащее области определения функции  f(x),          

Δx — приращение аргумента в точке x0,

Δf  — приращение функции в точке  х0, соответствующее приращению аргумента  Δx.  

Например, если   f(x) = х2то

f ′(x0)  =  lim Δx→0 
Δf
 =  lim Δx→0 
f(xΔx) – f(x0)
 = 
Δx
Δx
=  lim Δx→0 
(xΔx)2 – (x0)
 =  lim Δx→0 
2x0Δx + (Δx)2
 =  lim Δx→0 (2x0 + Δx) = 2x.
Δx
Δx

Функция, которая имеет производную в точке  x, называется дифференцируемой в этой точке

Если функция имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что она дифференцируема на промежутке.

Производная функции  f(x),  которая дифференцируема на промежутке, является функцией аргумента  x.

 

Основные правила дифференцирования

Для нахождения производной функции  f(x)  используют следующие правила дифференцирования

I.

 (f + g)' = f ' + g' 

производная суммы равна сумме производных
II.

(f · g)' = f ' · g + f · g'

производная произведения равна сумме произведений производной одной функции и другой функции
III.

(C · f)' = C · f '

постоянный множитель можно выносить из-под знака производной
IV.
  (
f
)'= 
f ' · g – f · g'
g
g2
производная отношения двух функций равна отношению разности произведений производной числителя на знаменатель и производной знаменателя на числитель к квадрату знаменателя

V.
(f (g (x)))' = fg'(g) · gx'(x)
производная сложной функции равна произведению производной функции по промежуточному аргументу сложной функции и производной этого промежуточного аргумента по независимой переменной


Таблица производных


Производные элементарных функций
Производные сложных функций
I. 
\[С'=0\]

II. 
\[{(kx+b)}'=k\]в частности\[{(kx)}'=k\]\[{x}'=1\]
\[{(ku+b)}'=k\cdot u'\]в частности\[{(ku)}'=k\cdot u'\]\[{u}'=1\cdot u'\]
III. 
\[{(x^n)}'=nx^{n-1}\]в частности\[{\left ( \frac{1}{x} \right )}'=-\frac{1}{x^2}\]\[(\sqrt{x}){}'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\]
\[{(u^n)}'=nu^{n-1}\cdot u'\]в частности\[{\left ( \frac{1}{u} \right )}'=-\frac{u'}{u^2}\]\[(\sqrt{u}){}'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\]
IV. 
\[\left(\log_{a}x\right){}'=\frac{1}{x\ln a}\]в частности\[\left(\ln x\right){}'=\frac{1}{x}\]\[\left(\lg x\right){}'=\frac{\lg e}{x}\]
\[\left(\log_{a}u\right){}'=\frac{u'}{u\ln a}\]в частности\[\left(\ln u\right){}'=\frac{u'}{u}\]\[\left(\lg u\right){}'=\frac{u'\cdot\lg e}{x}\]
V.
\[{(a^x)}'=a^x\ln a\]в частности\[{(e^x)}'=e^x\]
\[{(a^u)}'=a^u\ln a\cdot u'\]в частности\[{(e^u)}'=e^u\cdot u'\]
VI. 
\[{(\sin x)}'=\cos x\]
\[{(\sin u)}'=\cos u\cdot u'\]
VII.
\[{(\cos x)}'=-\sin x\]
\[{(\cos u)}'=-\sin u\cdot u'\]
VIII. 
\[{(tg~x)}'=\frac{1}{\cos^2 x}\]
\[{(tg~u)}'=\frac{u'}{\cos^2 u}\]
IX. 
\[{(ctg~x)}'=-\frac{1}{\sin^2 x}\]
\[{(ctg~u)}'=-\frac{u'}{\sin^2 u}\]
X. 
\[{(\arcsin x)}'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]
\[{(\arcsin u)}'=\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}\]
XI. 
\[{(\arccos x)}'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]
\[{(\arccos u)}'=-\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}\]
XII. 
\[{(arctg~x)}'=\frac{1}{1+x^2}\]
\[{(arctg~u)}'=\frac{u'}{1+u^2}\]
XIII. 
\[{(arcctg~x)}'=-\frac{1}{1+x^2}\]
\[{(arcctg~u)}'=-\frac{u'}{1+u^2}\]
XIV. 
\[{(x^x)}'=x^x(1+\ln x)\]
\[{(u^u)}'=u^u(1+\ln u)\cdot u'\]


Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной

Пусть задана функция  = f(x), имеющая производную в точке х = а. Проведём касательную к графику функции = f(x) в точке (а; f(а)). Тогда угловой коэффициент или тангенс угла между касательной и положительным направлением оси Ох будет равен производной функции = f(x) в точке х = а, то есть

k = tg a = f '(a).

Геометрический смысл производной: производная функции  = f(xв точке х = а равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке:

f '(a) = k = tg a.

Уравнение касательной к графику функции = f(xв точке х = а имеет вид:

y = f (a) +  f '(a)·(x – a).

Например, составим уравнение касательной к графику функции  f(x) = х– 5х  в точке а = –1.

f) = f(–1) = (–1)2 – 5·(–1= 1 + 5 = 6;

f '(x) = (х– 5х)' = 2– 5;

f '(а) = f '(–1) = 2·(–1) – 5 = –7;

y = 6 – 7·(x + 1)  или  y =  7x – 1— искомое уравнение касательной.

                  

Физический смысл производной

Если s = s(t) — закон прямолинейного движения, то s'(t) выражает скорость движения в момент времени t, а v'(t) ускорение, то есть

v(t) = s'(t) — мгновенная скорость;

а(t) = v'(t) — мгновенное ускорение.

Например, закон свободного падения тела выражается зависимостью s(t) = 0,5·gt2. Тогда скорость падения в момент времени t такова:

v(t) = s'(t) = (0,5·gt2)' = 0,5·g·(t2)' = 0,5·g· 2t = gt.

Вообще производная функции = f(x) в точке x выражает скорость изменения функции в точке x, то есть скорость протекания процесса, описываемого зависимостью = f(x). В этом и состоит физический смысл производной.  

Например, для функции   f(x) = х2  имеем   f '(x) = 2х, и, значит,  '(2) = 4,  '(3) = 6. Из этого следует, что в точке x = 2 функция изменяется в 4 раза быстрее аргумента, а в точке x = 3 — в 6 раз быстрее.


Условия возрастания, убывания и постоянства функции

Достаточное условие возрастания
Достаточное условие убывания
Необходимое и достаточное условие постоянства функции
Достаточное условие возрастания функции. Если в каждой точке интервала (a; b) выполняется неравенство
 f '(x) > 0,
то функция = f(x) возрастает на этом интервале.
Достаточное условие убывания функции. Если в каждой точке интервала (a; b) выполняется неравенство
 f '(x) < 0,

то функция = f(x) убывает на этом интервале.

Необходимое и достаточное условие постоянства функции. Функция f(x) постоянна на интервале (a; b) тогда и только тогда, когда 
 f '(x) = 0
в каждой точке этого интервала.

  

Точки экстремума и экстремумы функции

Точка максимума

Точка x0 называется точкой максимума (локального максимума) функции = f(x), если найдётся такая окрестность точки x0, что для всех x из этой окрестности  выполняется условие
(x0) > (x).
Точка максимума

x0 — точка максимума (локального максимума) функции = f(x);
(x0— максимум функции = f(x).
Например, точка x = 0 является точкой максимума для функций 
 f(x) = – х2 и   f(x) = – |х|
Точка минимума

Точка x0 называется точкой минимума (локального минимума) функции = f(x), если найдётся такая окрестность точки x0, что для всех x из этой окрестности  выполняется условие
(x0) < (x).
Точка минимума

x0 — точка минимума (локального минимума) функции = f(x);
(x0— минимум функции = f(x).
Например, точка x = 0 является точкой минимума для функций  
f(x) =  х2 и   f(x) = |х|.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума и обозначаются так:  xmax  и  xmin .

Значения функции в точках максимума и минимума называются экстремумами функции и обозначаются так:  ymax  и  ymin  или  fmax  и  fmin .


Необходимое условие экстремума (теорема Ферма).  Если  x0 — точка экстремума, то значение производной  f '(x0)  в этой точке или равно нулю, или не существует.

Точки, в которых производная равна нулю:  f '(x) = 0, называются стационарными точками функции.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки — это либо стационарные точки (решения уравнения  f '(x) = 0), либо это точки, в которых производная  f '(x)  не существует.

Заметим! Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.

Например, точка x = 0 является точкой минимума для функций f(x) = х2 и  f(x) =|х|. Для первой из них  f '(0) = 0, для второй f '(0) не существует. А вот для функции f(x) = х3 точка x 0 не является точкой экстремума, хотя является критической, так как  f '(0) = 0.  


Достаточное условие экстремума.  Если функция = f(x) непрерывна в точке x0 и производная f '(x) меняет знак в этой точке, то x0 — точка экстремума функции = f(x). При этом, это минимум, если при переходе через точку x0 производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку x0 производная меняет свой знак с плюса на минус.

            

Схема исследования функции на монотонность и экстремумы

  1. Найти область определения исследуемой функции и интервалы, на которых функция непрерывна.
  2. Найти производную функции.
  3. Найти критические точки, то есть внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.
  4. Обозначить критические точки на области определения, найти знак производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые критические точки разбивают область определения.
  5. Определить относительно каждой критической точки, является ли она точкой максимума, точкой минимума или не является точкой экстремума.
  6. Записать результаты исследования функции: промежутки монотонности и экстремумы.

Например. Исследовать функцию y = x4 – 4x3 на монотонность и экстремумы.

D(y) = R. Функция непрерывна на всём множестве R.

Найдём производную: y' = (x– 4x3)' = 4x3 – 12x2.

Найдём критические точки. Точек, в которых производная не существует, нет, так как D(y') = R. Найдём стационарные точки, то есть нули производной:

y' = 0 при 4x3 – 12x2 = 0 ⇒ 4x2(x – 3) = 0 ⇒ 4x2 = 0 или x – 3 = 0 x = 0 или х = 3;

0 и 3 – критические точки.

Нанесём критические точки на область определения (вся координатная прямая), определим знак производной и характер поведения функции на каждом из полученных интервалов.

Исследовать функцию y = x4 – 4x3 на монотонность

Итак, функция убывает при x < 3, возрастает при x > 3

x = 3 — точка минимума,  y(3) = 34 – 4·33 81 – 4·27 = – 27 — минимум функции.

Ответ: функция убывает на промежутке (–∞; 3), функция возрастает на промежутке (3; +∞)

            xmin 3,  уmin = –27.  

 

Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке

Для непрерывной на отрезке [a; b] функции = f(x) её наибольшее и наименьшее значения достигаются или в критических точках, или на концах промежутка.

Поэтому, чтобы найти наибольшее или наименьшее значения функции на промежутке [a; b], необходимо вычислить значения функции во всех критических точках, принадлежащих (a; b), и на концах промежутка для  = a  и  x = b,  а потом среди полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Например. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  f(x) = x + e –x на отрезке [–1; 2].

Находим производную:  f '(x) = (x + e –x)' = 1 e –x.

Критических точек, в которых производная не определена не существует. Найдём нули производной.

f '(x) = 0  при  1 e –x 0  ⇒  e –x 1  ⇒  x = 0.

0 — критическая точка, причём содержащаяся в промежутке [–1; 2]. Найдём значение функции в этой точке:

 (0) = 0 + e 0 1.

Найдём значения функции на концах интервала [–1; 2]:

 (–1) = –1 + e 1 = е – 1;   (2) = 2 + e –2 2 + 1/.  Итак, 

1 — наименьшее значение функции  f(x) = x + e –x на отрезке [–1; 2];  

2 + 1/ — наибольшее значение функции  f(x) = x + e –x на отрезке [–1; 2].

Ответ:  fнаиб (2) = 2 + 1/,    fнаим (0) = 1.        

                            

Схема исследования функции и построения её графика

  1. Найти область определения функции.
  2. Проверить наличие специфических свойств: является ли функция чётной или нечётной, периодической.
  3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
  4. Установить промежутки знакопостоянства.
  5. Найти промежутки монотонности функции.
  6. Найти критические точки и установить, какие из них являются точками экстремума, и найти экстремумы функции.
  7. Исследовать поведение функции в окрестностях "особенных" точек и при значениях аргумента, стремящихся по модулю к бесконечности.
  8. Используя полученные сведения, построить схематический график функции.

Например. Исследовать функцию y = x3 – 3x и построить её график.

D(y) = R. Функция непрерывна на всей области определения.

Функция не является ни чётной, ни нечётной. Функция не является периодической.

Найдём абсциссы пересечения графика с осью Оx:

y = 0 при 4x3 – 3x= 0 x2(x – 3) = 0 ⇒ x2 = 0 или x – 3 = 0 ⇒ x =или x = 3.

Найдём абсциссы пересечения графика с осью Оy:

y = y(0) = 03 – 3·02 =0.          

Найдём производную: y' = (x3 – 3x2)' = 3x2 – 6x.

Найдём критические точки. Так как D(y') = R , то среди критических точек возможны только стационарные. Найдём нули производной:

y' = 0 при 3x2 – 6x = 0 ⇒ 3x(x – 2) = 0 ⇒ 3x = 0 или x – 2 = 0 ⇒ x = 0 или x = 2;

0 и 2 — критические точки.

Результаты дальнейшего исследования функции оформим в виде таблицы:


x
(–∞; 0)
0
(0; 2)
2
(2; +∞)
y' (x)
+
0

0
+
y (x)

0

– 4



max

min


график функции  y = x3 – 3x2


Установим поведение функции при бесконечно больших по модулю значениях аргумента:

lim x→ +∞ (x3 – 3x2) = + ∞;

lim x→ – ∞ (x3 – 3x2) = – ∞.


Используя результаты исследования, строим график функции  y = x3 – 3x.   

 







      Смотрите также:

Справочник

Обозначения  и сокращения

Таблицы чисел

Алгебраические  тождества

Степени

Арифметический  корень n-й степени

Логарифмы

Графики элементарных функций

Построение  графиков функций геометрическими методами

Тригонометрия

Таблицы значений  тригонометрических функций

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Предел и  непрерывность функции

Треугольники

Четырёхугольники

Многоугольники

Окружность

Площади  геометрических фигур

Прямые и  плоскости

Многогранники

Тела вращения

 

Группа Математика для школы|math4school.ru ВКонтакте

Давно собирался и вот, наконец! Примерно так выглядит история нашей группы ВКонтакте. Сомнения в необходимости её существования отброшены, и первые материалы сообщества уже выложены.

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.