Math    schooL

 

 

Представление целых чисел с помощью числа "пи"

 

Представление целых чисел с помощью числа

 

У хорошо известной задачи о том, как записать различные целые числа с помощью четырёх одинаковых чисел (например, четвёрок) существует масса различных разновидностей. В одном из весьма увлекательных вариантов этой задачи, предложенном Ф. Чини, для представления различных целых чисел допускается использовать только число π, знаки сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня, а так же символ функции целой части от х (антье от х: [x] – наибольшее целое число, не превосходящее х).

Кроме того, можно пользоваться круглыми скобками, как в алгебре; никакие другие символы не разрешаются. Каждый символ, так же как и само число π, можно использовать любое количество раз, но чем меньше чисел π потребуется, тем лучше.

Например, число 1 можно представить как [π], а число 3 – ещё проще: как [π]. Предлагается представить таким образом все числа от 1 до 20.

Далее приводятся результаты полученные Чини:

1 = [π]

2 = [π] + [π]

3 = [π]

4 = [π + π]

5 = [π · π]

6 = [π + π]

7 = [ππ]

8 = [π · π – π]

9 = [π · π]

10 = [π · π] + [π]

11 = [π · π + π]

12 = [π · π] + [π]

13 = [π · π + π]

14 = [π · π + π + π]

15 = [π · π] + [π + π]

16 = [π · π + π + π]

17 = [π · π · π]

18 = [π · π] + [π · π]

19 = [π · π + π · π]

20 = [π · π] · [π + π]

Кроме того, он сумел записать все целые числа от 1 до 100, используя в каждом представлении не более четырёх π. Справедливости ради, заметим, что условия не позволяли использовать возведение в степень, что было сделано для представления числа 7, видимо, по причине красоты получившегося равенства или из стремления уменьшить возможное количество использованных π. Число 7 можно было представить так

7 = [π] + [π + π].

Кроме предложенных возможны, конечно, и другие варианты представлений. Например,

8 = [π + π + π],

2 = [ππ],

но количество π то же самое – 3 и 2, соответственно. Можно ли получить качественное улучшение для представлений каких-либо чисел? Да, это возможно. В качестве примеров приведём здесь пять более коротких представлений:

14 = [[π] · (π + π)]

15 = [π] · [π · π]

16 = [π · [π] · π]

18 = [π] · [π + π]

19 = [π · (π + π)].

С допущением к использованию дополнительных действий и математических символов улучшения можно продолжить. Например, если использовать возведение в степень и факториал, то

6 = [π]!

20 = [ππ π] = [(π · π)π].

Кроме того, если принять, как это обычно делается, что

–[–π] = 4,

то возможны и дальнейшие упрощения, а именно:

2 = –[–π]

4 = –[–π]

8 = –[–π] – [–π]

10 = –[–π · π]

11 = [(–[–π])π]

12 = –[–π] · [π]

13 = –[π · [–π]]

16 = [–π] · [–π].

Существует мнение, что можно подобрать такую систему математических символов, что любое натуральное число можно будет представить с помощью всего лишь трёх символов π.

 

По материалам: М. Гарднер. Крестики-нолики (Москва, "Мир", 1988).

 

   <<< Назад

 

Группа Математика для школы|math4school.ru ВКонтакте

Давно собирался и вот, наконец! Примерно так выглядит история нашей группы ВКонтакте. Сомнения в необходимости её существования отброшены, и первые материалы сообщества уже выложены.

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.