Math    schooL

 

 

Представление целых чисел с помощью числа "пи"

 

Представление целых чисел с помощью числа

 

У хорошо известной задачи о том, как записать различные целые числа с помощью четырёх одинаковых чисел (например, четвёрок) существует масса различных разновидностей. В одном из весьма увлекательных вариантов этой задачи, предложенном Ф. Чини, для представления различных целых чисел допускается использовать только число π, знаки сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня, а так же символ функции целой части от х (антье от х: [x] – наибольшее целое число, не превосходящее х).

Кроме того, можно пользоваться круглыми скобками, как в алгебре; никакие другие символы не разрешаются. Каждый символ, так же как и само число π, можно использовать любое количество раз, но чем меньше чисел π потребуется, тем лучше.

Например, число 1 можно представить как [π], а число 3 – ещё проще: как [π]. Предлагается представить таким образом все числа от 1 до 20.

Далее приводятся результаты полученные Чини:

1 = [π]

2 = [π] + [π]

3 = [π]

4 = [π + π]

5 = [π · π]

6 = [π + π]

7 = [ππ]

8 = [π · π – π]

9 = [π · π]

10 = [π · π] + [π]

11 = [π · π + π]

12 = [π · π] + [π]

13 = [π · π + π]

14 = [π · π + π + π]

15 = [π · π] + [π + π]

16 = [π · π + π + π]

17 = [π · π · π]

18 = [π · π] + [π · π]

19 = [π · π + π · π]

20 = [π · π] · [π + π]

Кроме того, он сумел записать все целые числа от 1 до 100, используя в каждом представлении не более четырёх π. Справедливости ради, заметим, что условия не позволяли использовать возведение в степень, что было сделано для представления числа 7, видимо, по причине красоты получившегося равенства или из стремления уменьшить возможное количество использованных π. Число 7 можно было представить так

7 = [π] + [π + π].

Кроме предложенных возможны, конечно, и другие варианты представлений. Например,

8 = [π + π + π],

2 = [ππ],

но количество π то же самое – 3 и 2, соответственно. Можно ли получить качественное улучшение для представлений каких-либо чисел? Да, это возможно. В качестве примеров приведём здесь пять более коротких представлений:

14 = [[π] · (π + π)]

15 = [π] · [π · π]

16 = [π · [π] · π]

18 = [π] · [π + π]

19 = [π · (π + π)].

С допущением к использованию дополнительных действий и математических символов улучшения можно продолжить. Например, если использовать возведение в степень и факториал, то

6 = [π]!

20 = [ππ π] = [(π · π)π].

Кроме того, если принять, как это обычно делается, что

–[–π] = 4,

то возможны и дальнейшие упрощения, а именно:

2 = –[–π]

4 = –[–π]

8 = –[–π] – [–π]

10 = –[–π · π]

11 = [(–[–π])π]

12 = –[–π] · [π]

13 = –[π · [–π]]

16 = [–π] · [–π].

Существует мнение, что можно подобрать такую систему математических символов, что любое натуральное число можно будет представить с помощью всего лишь трёх символов π.

 

По материалам: М. Гарднер. Крестики-нолики (Москва, "Мир", 1988).

 

   <<< Назад

 

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Новый раздел на сайте math4school.ru

Закончена работа над новым разделом сайта Работа над ошибками.

Союз образовательных сайтов