Math    schooL

 

 

Предел и непрерывность функции

 

Предел функции y = f(x) при х → ∞

Вычисление пределов функции при х → ∞

Непрерывные функции

Теоремы про непрерывность функции

Замечательные пределы

Вычисление пределов функции в точке

  

Предел функции y = f(x) при х → 

Определение.

Число b называется пределом функции y = f(x) при х+∞, если для любого числа ε > 0 найдётся такое число М > 0, что для всех х > М выполняется неравенство |f(x) – b|< ε.

Записывают так:

lim х→+ f(x) = b.

Геометрически это означает, что график функции y = f(x) при выборе достаточно больших значений х безгранично приближается к прямой у = b. Это означает, что расстояние от точки графика до прямой у = b по мере удаления точки в бесконечность может быть сделано меньше любого числа ε > 0. Прямая  называется в этом случае горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x).  

Например: lim х→+ 1/х = 0 и функция y = 1/х имеет горизонтальную асимптоту у = 0.

 

Определение.

Число b называется пределом функции y = f(x) при х∞, если для любого числа ε > 0 найдётся такое число М > 0, что для всех х < –М выполняется неравенство |f(x) – b|< ε.

Записывают так:

lim х→ f(x) = b.

В этом случае прямая y = b также является горизонтальной асимптотой функции  y = f(x), график которой бесконечно близко приближается к ней при достаточно больших по модулю, но отрицательных значениях х.

Например: lim х→ (3 + 2х) = 3 и функция y = (3 + 2х) имеет горизонтальную асимптоту у = 3.

 

Наконец, прямая у = b  может быть горизонтальной асимптотой графика функции  и при х+∞, и при х∞. Пишут так: х∞.

Определение.

Число b называется пределом функции y = f(x) при х → ∞, если для любого числа ε > 0 найдётся такое число М > 0, что для всех x таких, что |х| > М, выполняется неравенство |f(x) – b|< ε.

Записывают так:

lim х→∞ f(x) = b.

Например: lim х→∞ х2/(х2+1) = 1 и функция y = х2/(х2+1) имеет горизонтальную асимптоту у = 1.

 

Вычисление пределов функции при х → 

Для вычисления пределов функций при х→∞ используются следующие теоремы об операциях над пределами:

 

Теорема о вынесении постоянного множителя за знак предела:

Если lim х f(x) = a, то lim х→∞ k · f(x) = k · а.

 

Теорема о пределе суммы:

Если lim х→∞ f(x) = a, lim х→∞ g(x) = b, то lim х→∞ (f(x) + g(x)) = а + b.

 

Теорема о пределе произведения:

Если lim х→∞ f(x) = a, lim х→∞ g(x) = b, то lim х→∞ f(x) · g(x) = а · b.

 

Теорема о пределе частного:

Если lim х→∞ f(x) = a, lim х→∞ g(x) = b и b ≠ 0, то lim х→∞ f(x) / g(x) = а / b.

  

Непрерывные функции 

Определение.

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х = а, если существует предел функции в этой точке, т.е.

lim х→а f(x) = f(a).

Функция y = f(x) будет непрерывной в точке х = а тогда и только тогда, когда выполняются условия:

  • функция y = f(x) определена в точке х = а, т.е. существует f(a);
  • существует предел lim х→а f(x) функции в точке х = а;
  • предел функции в точке х = а равен значению функции в этой точке, т.е.

lim х→а f(x) = f(a). 

Другими словами верно и такое

Определение.

Функция y = f(x) непрерывна в точке х = а, если для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, выполняется неравенство |f(x) – f(a)| < ε.

Определение.

Если функция y = f(x) непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то её называют непрерывной на данном промежутке.

 

Теоремы про непрерывность функции

Теорема 1:

Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х = а, то в этой точке непрерывны и функции  f(x) + g(x), f(x) – g(x), f(x) · g(x).

 

Теорема 2:

Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х = а и g(а) ≠ 0, то в точке х = а  будет непрерывной также функция f(x) / g(x).

 

Исходя из двух последних теорем можно утверждать:

  • многочлен y = a0 + a1x + . . . + anxn – непрерывная функция в любой точке а R;
  • дробно-рациональная функция
y =  a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn
b0 + b1x + b2x. . . + bmxm

        непрерывна во всех точках числовой оси, кроме нулей знаменателя;

  • функции у = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x, y = ax, y = logax, y = nх, y = |x|, у = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x также непрерывны во всех точках области определения.

 

Замечательные пределы

Замечательные пределы – термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:

 

Первый замечательный предел:

lim х→ 0  sin x  = 1.
x

Следствия из первого замечательного предела: 

lim х→ 0  tg x  = 1,
x
lim х→ 0  arcsin x  = 1,
x
lim х→ 0  arctg x  = 1,
x
lim х→ 0  2 · (1 – cos x)  = 1.
x2

 

Второй замечательный предел:

lim х→∞ (1 + 1/x)x = e  или  lim х→0 (1 + x)1/x = e.

 

Следствия из второго замечательного предела:

lim х→ 0  (1 + u)1/u = e,
lim х→  

(1 + k/x)x = ek,

lim х→ 0  ln(1 + x)   = 1,
x
lim х→ 0  e– 1  = 1,
x
lim х→ 0  a– 1  = 1,
x · ln a
lim х→ 0  (1 + x)α – 1  = 1.
αx

 

Вычисление пределов функции в точке 

Если y = f(x) непрерывна в точке х = а, то lim х→а f(x) = f(a).

Если в результате подстановки х = а при вычислении предела получаем выражение типа 0 / 0, то имеет смысл попытаться воспользоваться одним из следующих приёмов:

  • попробовать разложить числитель и знаменатель дроби на множители, выполнить сокращение, а затем найти предел;
  • избавиться от иррациональности в знаменателе, а затем находить предел:
  • преобразовать функцию так, чтобы можно было воспользоваться первым замечательным пределом или его следствием.

 

     Смотрите также: 

Таблицы чисел 

Алгебраические тождества

Степени

Арифметический корень n-й степени

Логарифмы 

Графики элементарных функций

Построение графиков функций геометрическими методами

Тригонометрия

Таблицы значений тригонометрических функций

Треугольники

Четырёхугольники

Многоугольники

Окружность 

Площади геометрических фигур

Прямые и плоскости

Многогранники 

Тела вращения 

 

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Новый раздел на сайте math4school.ru

Закончена работа над новым разделом сайта Работа над ошибками.

Союз образовательных сайтов