Math    schooL

 

 

Первообразная и интегралы

   

Первообразная

Неопределённый интеграл

Таблица первообразных и неопределённых интегралов

Определённый интеграл

Геометрический и физический смысл определённого интеграла

Площадь фигуры

Объём тела вращения

    

Первообразная

Функция F(x) называется первообразной для функции  f(x) на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка выполняется равенство

F'(x) = f(x).

Например, функция F(x) = х является первообразной для функции  f(x) = 2х , так как

F'(x) = (х2)' = 2x = f(x).


Основное свойство первообразной

Если  F(x) — первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, то функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, и все эти первообразные можно записать в виде F(x) + С, где С — произвольная постоянная.

   

Например.
Функция F(x) = х + 1 является первообразной для функции  
f(x) = 2х, так как F'(x) = (х2 + 1)' = 2x = f(x);

функция F(x) = х – 1 является первообразной для функции  
f(x) = 2х , так как F'(x) = (х– 1)' = 2x = f(x);

функция F(x) = х – 3 является первообразной для функции  
f(x) = 2х , так как F'(x) = (х2 –3)' = 2x = f(x);

любая функция F(x) = х+ С, где С — произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции  f(x) = 2х. 


Правила вычисления первообразных

  1. Если F(x) — первообразная для f(x), а G(x) — первообразная для g(x), то F(x) + G(x) — первообразная для f(x) + g(x). Иными словами, первообразная суммы равна сумме первообразных.
  2. Если F(x) — первообразная для f(x), и — постоянная, то k·F(x) — первообразная для k·f(x). Иными словами, постоянный множитель можно выносить за знак производной.
  3. Если F(x) — первообразная для f(x), и k, b — постоянные, причём k ≠ 0, то  1/k · F(kx + b) — первообразная для  f(kx + b)


Неопределённый интеграл

Неопределённым интегралом от функции  f(x) называется выражение F(x) + С, то есть совокупность всех первообразных данной функции  f(x). Обозначается неопределённый интеграл так:

 f(x) dx = F(x) + С,

где

 f(x) — называют подынтегральной функцией;

f(x) dx — называют подынтегральным выражением;

x — называют переменной интегрирования;

F(x) — одна из первообразных функции f(x);

С — произвольная постоянная.

Например,    2x dx = х+ С,   cos x dx = sin х + С и так далее.

Слово "интеграл" происходит от латинского слова integer, что означает "восстановленный". Считая неопределённый интеграл от 2x, мы как бы восстанавливаем функцию х2, производная которой равна 2x. Восстановление функции по её производной, или, что то же, отыскание неопределённого интеграла по данной подынтегральной функции, называется интегрированием этой функции. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.


Основные свойства неопределённого интеграла

  1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:
  2. (f(x) dx)'= f(x).

  3. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла:
  4.  k · f(x) dx = k ·  f(x) dx.

  5. Интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций:
  6.  (f(x) ± g(x)) dx =  f(x) dx ± g(x) dx.

  7. Если k, b — постоянные, причём k ≠ 0, то
  8.   f(kx + b) dx = 1/k · F(kx + b) + С.

   

Таблица первообразных и неопределённых интегралов


f(x)
F(x) + C
 f(x) dx = F(x) + С
I.
$$0$$
$$C$$
$$\int 0dx=C$$
II.
$$k$$
$$kx+C$$
$$\int kdx=kx+C$$
III.
$$x^n~(n\neq-1)$$
$$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$
$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$
IV.
$$\frac{1}{x}$$
$$\ln |x|+C$$
$$\int\frac{dx}{x}=\ln |x|+C$$
V.
$$\sin x$$
$$-\cos x+C$$
$$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$
VI.
$$\cos x$$
$$\sin x+C$$
$$\int\cos x~dx=\sin x+C$$
VII.
$$\frac{1}{\cos^2x}$$
$$\textrm{tg} ~x+C$$
$$\int\frac{dx}{\cos^2x}=\textrm{tg} ~x+C$$
VIII.
$$\frac{1}{\sin^2x}$$
$$-\textrm{ctg} ~x+C$$
$$\int\frac{dx}{\sin^2x}=-\textrm{ctg} ~x+C$$
IX.
$$e^x$$
$$e^x+C$$
$$\int e^xdx=e^x+C$$
X.
$$a^x$$
$$\frac{a^x}{\ln a}+C$$
$$\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C$$
XI.
$$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$\arcsin x +C$$
$$\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x +C$$
XII.
$$\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$$
$$\arcsin \frac{x}{a}+C$$
$$\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C$$
XIII.
$$\frac{1}{1+x^2}$$
$$\textrm{arctg} ~x+C$$
$$\int \frac{dx}{1+x^2}=\textrm{arctg} ~x+C$$
XIV.
$$\frac{1}{a^2+x^2}$$
$$\frac{1}{a}\textrm{arctg} ~\frac{x}{a}+C$$
$$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\textrm{arctg} ~\frac{x}{a}+C$$
XV.
$$\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}$$
$$\ln|x+\sqrt{a^2+x^2}|+C$$
$$\int\frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}}=\ln|x+\sqrt{a^2+x^2}|+C$$
XVI.
$$\frac{1}{x^2-a^2}~(a\neq0)$$
$$\frac{1}{2a}\ln \begin{vmatrix}\frac{x-a}{x+a}\end{vmatrix}+C$$
$$\int\frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \begin{vmatrix}\frac{x-a}{x+a}\end{vmatrix}+C$$
XVII.
$$\textrm{tg} ~x$$
$$-\ln |\cos x|+C$$
$$\int \textrm{tg} ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$
XVIII.
$$\textrm{ctg} ~x$$
$$\ln |\sin x|+C$$
$$\int \textrm{ctg} ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$
XIX.
$$ \frac{1}{\sin x} $$
$$\ln \begin{vmatrix}\textrm{tg} ~\frac{x}{2}\end{vmatrix}+C $$
$$\int \frac{dx}{\sin x}=\ln \begin{vmatrix}\textrm{tg} ~\frac{x}{2}\end{vmatrix}+C $$
XX.
$$ \frac{1}{\cos x} $$
$$\ln \begin{vmatrix}\textrm{tg}\left (\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4} \right ) \end{vmatrix}+C $$
$$\int \frac{dx}{\cos x}=\ln \begin{vmatrix}\textrm{tg}\left (\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4} \right ) \end{vmatrix}+C $$
Первообразные и неопределённые интегралы, приведённые в этой таблице, принято называть табличными первообразными и табличными интегралами.

   

Определённый интеграл

Пусть на промежутке [a; b] задана непрерывная функция y = f(x), тогда определённым интегралом от a до b функции f(x) называется приращение первообразной F(x) этой функции, то есть

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(x)|{_a^b} = ~~F(a)-F(b).$$

Числа и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.


Основные правила вычисления определённого интеграла

1.  \(\int_{a}^{a}f(x)dx=0\);

2.  \(\int_{a}^{b}f(x)dx=- \int_{b}^{a}f(x)dx\);

3.  \(\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx,\) где k — постоянная;

4.  \(\int_{a}^{b}(f(x) ± g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x) dx±\int_{a}^{b}g(x) dx \);

5.  \(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\);

6.   \(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\), где f(x) — четная функция;

7.  \(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\), где f(x) — нечетная функция.

Замечание. Во всех случаях предполагается, что подынтегральные функции интегрируемые на числовых промежутках, границами которых являются пределы интегрирования.

   

Геометрический и физический смысл определённого интеграла   

Геометрический смысл
определённого интеграла

   
Физический смысл
определённого интеграла
    


Площадь S криволинейной трапеции (фигура, ограниченная графиком непрерывной положительной на промежутке [a; b] функции f(x), осью Ox и прямыми x=a, x=b) вычисляется по формуле

$$S=\int_{a}^{b}f(x)dx.$$

Путь s, который преодолела материальная точка, двигаясь прямолинейно со скоростью, изменяющейся по закону v(t), за промежуток времени [t1; t2], вычисляется по формуле
$$s=\int_{t_1}^{t_2}v(t)dt.$$

   

Площадь фигуры   


Если на заданном промежутке [a; b] определены и непрерывны функции y = f(x)  и
y = g(x), которые удовлетворяют условию
f(x) g(x)
для всех x ∈ [a; b], то площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и прямыми x = a, x = b, вычисляется по формуле

$$S=\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx.$$


► Например. Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями
y = x2  и  y = 2 – x

Изобразим схематически графики данных функций и выделим другим цветом фигуру, площадь которой необходимо найти. Для нахождения пределов интегрирования решим уравнение:
x2 2 – x;  x2 + x – 2 = 0;  x1–2,  x2=1.
Тогда

$$S=\int_{-2}^{1}((2-x)-x^2)dx=$$

$$=\int_{-2}^{1}(2-x-x^2)dx=\left ( 2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{2} \right)\bigm|{_{-2}^{~1}}=4\frac{1}{2}. $$

Объём тела вращения


Если тело получено в результате вращения около оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на промежутке [a; bфункции y = f(x) и прямыми x = a  и  x = b, то его называют телом вращения
Объём тела вращения вычисляется по формуле

$$V=\pi\int_{a}^{b}f^2(x)dx.$$

Если тело вращения получено в результате вращения фигуры, ограниченной сверху и снизу графиками функций y = f(x) и y = g(x), соответственно, то

$$V=\pi\int_{a}^{b}(f^2(x)-g^2(x))dx.$$


► Например. Вычислим объём конуса с радиусом r и высотой h.

Расположим конус в прямоугольной системе координат так, чтобы его ось совпадала с осью Ox, а центр основания располагался в начале координат. Вращение образующей AB определяет конус. Так как уравнение AB
$$\frac{x}{h}+\frac{y}{r}=1,$$
то
$$y=r-\frac{rx}{h}$$
и для объёма конуса имеем

$$V=\pi\int_{0}^{h}(r-\frac{rx}{h})^2dx=\pi r^2\int_{0}^{h}(1-\frac{x}{h})^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac{(1-\frac{x}{h})^3}{3}|{_0^h}=-\pi r^2h\left ( 0-\frac{1}{3} \right )=\frac{\pi r^2h}{3}.$$

      Смотрите также:

Справочник

Обозначения  и сокращения

Таблицы чисел

Алгебраические  тождества

Степени

Арифметический  корень n-й степени

Логарифмы

Графики элементарных функций

Построение  графиков функций геометрическими методами

Тригонометрия

Таблицы значений  тригонометрических функций

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Предел и  непрерывность функции

Производная

Треугольники

Четырёхугольники

Многоугольники

Окружность

Площади  геометрических фигур

Прямые и  плоскости

Многогранники

Тела вращения

 

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Новый раздел на сайте math4school.ru

Закончена работа над новым разделом сайта Работа над ошибками.

Союз образовательных сайтов