Math    schooL

 

 

Палитра вероятностей

 

Красная и чёрная кляксы. Палитра вероятностей

 

Математика сродни искусству, искусство математики – фразы, которые уже стали расхожими. Но если различие мнений, суждений и выводов о картине или романе – это вещь естественная, то в математике, как правило, вопрос имеет единственно верный ответ, не зависящий от чувства вкуса, воспитания или личных предпочтений каждого из нас. Выбором и поиском такого единственного ответа мы сейчас и займёмся.

Задача. На полке расставлены в один ряд 6 одинаковых баночек: 3 – с черной краской и 3 – с красной. Не глядя на наклейки, наугад снимают с полки 3 баночки. Какова вероятность, что эти баночки содержат краску одного цвета?

 

Попытка решения 1 

Комплект из трех баночек, снятых наугад с полки, может содержать:

Каждый комплект трех баночек – возможный исход. Всего 4 возможных исхода. Из них два удовлетворяют требованию задачи, два остальных нет. Следовательно, вероятность события А (взятые наугад три баночки содержат краску одного цвета – 3 с красной краской или 3 с чёрной краской) равна

Р (А) = 2/4 = 1/2.

 

Попытка решения 2

Раздвинем баночки на полке, не глядя на этикетки, – 3 налево и 3 направо. При этом могло так случиться, что:

  • слева оказались 3 баночки одного цвета, справа – другого – благоприятный случай:

                

  • слева две баночки с чёрной краской и одна с красной: 

                

  • слева две баночки с красной краской и одна с чёрной: 

                

Оба последних случая неблагоприятны. Следовательно, вероятность события А равна:

Р (А) = 1/3.

 

Попытка решения 3

Полный набор равновозможных исходов можно составить из следующих восьми комбинаций (в каждой 3 баночки):

Из них 2 комбинации в пользу задуманного события А. Следовательно,

Р (А) = 2/8 = 1/4.

Получилось, что одно и то же событие в условиях одного и того же опыта имеет три разные меры вероятности: 1/2, 1/3, 1/4.

Вот такой казус! Какой же результат верен?

 

Расследование

Правильный результат не получен ни в одном из трех предыдущих решений, хотя в рассуждениях все верно, кроме признания равновероятными предположенных исходов-комбинаций в каждом решении. В любой попытке решения следовало бы учитывать количество реально возможных комбинаций (из шести баночек по три).

Так, в попытке решения 1 действительно возможно лишь одно формирование трех баночек, ведущее к появлению события

и одно, ведущее к появлению события

но появление событий вида:

возможно в девяти случаях каждое. В самом деле, например, для формирования комплекта

две баночки с черной краской могут быть выбраны из имеющихся трех:

по воле случая тремя способами:

К каждой из этих пар может присоединиться какая-либо одна из трех баночек с красной краской:

Образуется 3 · 3 = 9 комбинаций вида:

Аналогично образуется 9 комбинаций вида:

Окончательное число способов формирования комплектов-исходов вида:

равно 1 + 1 + 9 + 9 = 20 с вероятностью 1/20 для каждого из исходов вида:

и с вероятностью 9/20 для каждого из исходов вида:

Тогда вероятность события А равна

Р (А) = 1/20 + 1/20 = 2/20 = 1/10.

 

Источник: Б.А. Кордемского «Великие жизни в математике» (Москва, «Просвещение», 1995)

 

<<< Назад 

 

     Смотрите так же: 

Задачи математических олимпиад. Элементы теории вероятностей

 

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Новый раздел на сайте math4school.ru

Закончена работа над новым разделом сайта Работа над ошибками.

Союз образовательных сайтов