Math    schooL

 

 

Ошибки в упражнениях с параметрами

 

Соты. Ошибки в упражнениях с параметрами

Уравнения с параметрами

При решении уравнений с параметрами не учитываются допустимые значения параметров, входящих в уравнения. 

K Упражнение. Решить уравнение  m · x = n.

L Неправильное решение. 

Ответ: x = m/n .

Комментарий. Осталось не ясным, при каких значениях m и n уравнение имеет решение, т.е. решение уравнения, фактически, не доведено до конца.

J Правильное решение. 

x = m/n . 

1) Если m ≠ 0, то деление на m всегда возможно и уравнение имеет единственное решение. 

2) Если m = 0  и  n ≠ 0, то уравнение решений не имеет. 

3) Если m = 0  и  n = 0, то исходное уравнение имеет вид 0 · х = 0, которому, очевидно, удовлетворяет любое действительное значение х.

 

K Упражнение. Решить уравнение  cos x = a. 

L Неправильное решение 

x = ± arccos a + 2πn,  n ∈ Z.

Комментарий. В решении не учтена область значений параметра. 

J Правильное решение. 

1) Если |a| ≤ 1, то x = ± arccos a + 2πn, n ∈ Z. 

2) Если |a| > 1, то уравнение решений не имеет.

При решении квадратных уравнений с параметрами рассматриваются не все возможные случаи.

K Упражнение. При каком значении параметра a уравнение  ax2(3a + 2) · x + a = 0 имеет единственное решение. 

L Неправильное решение. 

D = (3a + 2)2 – 4a2 = 0, 

5a2 + 12a + 4 = 0, 

a1 = –2,  a2 = –0,4

и так далее. 

J Правильное решение.

Для уравнения ax2 – (3a + 2) · x + a = 0 единственное решение будет не только в случае D = 0, как решают многие, но и в том случае, когда уравнение вырождается в линейное при а = 0.

 

Системы уравнений с параметрами

При решении систем уравнений с параметрами почти всегда рассматривается неполный перечень возможных ситуаций. 

K Упражнение. Решить систему уравнений

\[\begin{cases} m\cdot x+y=n, \\ x+m\cdot y=m. \end{cases}\]

L Неправильное решение.

После преобразований получаем, что

\[ \begin{cases}(m^2-1)\cdot x=m\cdot n-m, \\(m^2-1)\cdot y=m^2-n, \end{cases}\]

то есть

\[ \large \begin{cases} x=\frac{m\cdot (n-1)}{m^2-1}, \\ y=\frac{m^2-n}{m^2-1}. \end{cases} \]

Комментарий. Решение не доведено до конца. 

J Правильное решение. 

1) Если m ≠ ±1,  то деление на m2 – 1 всегда возможно и система имеет единственное решение. 

2) Если m = ±1, а m · (n – 1) ≠ 0 и m2 – n ≠ 0, система решений не имеет. 

3) Если m = ±1, m · (– 1) = 0 и m2 – n = 0 (последнее равенство выполняется при n = 1), то система имеет бесконечно много решений. 

 

Неравенства с параметрами

При решении неравенств с параметрами довольно часто возникают проблемы с учетом допустимых значений параметров. 

K Упражнение. Решить неравенство  a · (x1)x2 >0. 

L Неправильное решение. 

a · x – a – x – 2 > 0; 

(a – 1) · x > a + 2; 

  x >  a + 2 .
a – 1

Комментарий. Решение следовало продолжить. 

J Правильное решение. 

1) Если а – 1 > 0, то есть при а > 1,

  x >  a + 2 .
a – 1

2) Если а – 1 < 0, то есть при а < 1,

  x >  a + 2 .
a – 1

3) Если а – 1 = 0, то есть при а = 1, решений нет, так как 0 · x > 3 – неверно для любых значений х.

 

Логарифмические и показательные неравенства с параметрами

При решении логарифмических и показательных неравенств с параметрами необходимо учитывать, что, в зависимости от величины основания (меньше 1 или больше 1), решение одного и того же неравенства требует рассмотрения совокупности случаев. 

K Упражнение. Решить неравенство  ах < а3. 

L Неправильное решение. 

х < 3. 

J Правильное решение. 

1) Если а > 1, то х < 3. 

2) Если 0 < a < 1, то x > 3.

K Упражнение. Решить неравенство  loga x ≥ loga 5. 

L Неправильное решение.

x ≥ 5.

J Правильное решение. 

1) Если а > 1, то х ≥ 5. 

2) Если 0 < a < 1, то 0 < x ≤ 5.

 

     Смотрите так же: 

Ошибки в тождественных преобразованиях

Ошибки в уравнениях

Ошибки в системах уравнений

Ошибки в неравенствах

Ошибки в упражнениях о функциях

Ошибки в упражнениях из начал анализа

Ошибки в геометрических задачах

 

Группа Математика для школы|math4school.ru ВКонтакте

Давно собирался и вот, наконец! Примерно так выглядит история нашей группы ВКонтакте. Сомнения в необходимости её существования отброшены, и первые материалы сообщества уже выложены.

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Союз образовательных сайтов