Math    schooL

 

 

Ошибки в упражнениях с параметрами

 

Соты. Ошибки в упражнениях с параметрами

Уравнения с параметрами

При решении уравнений с параметрами не учитываются допустимые значения параметров, входящих в уравнения. 

K Упражнение. Решить уравнение  m · x = n.

L Неправильное решение. 

Ответ: x = m/n .

Комментарий. Осталось не ясным, при каких значениях m и n уравнение имеет решение, т.е. решение уравнения, фактически, не доведено до конца.

J Правильное решение. 

x = m/n . 

1) Если m ≠ 0, то деление на m всегда возможно и уравнение имеет единственное решение. 

2) Если m = 0  и  n ≠ 0, то уравнение решений не имеет. 

3) Если m = 0  и  n = 0, то исходное уравнение имеет вид 0 · х = 0, которому, очевидно, удовлетворяет любое действительное значение х.

 

K Упражнение. Решить уравнение  cos x = a. 

L Неправильное решение 

x = ± arccos a + 2πn,  n ∈ Z.

Комментарий. В решении не учтена область значений параметра. 

J Правильное решение. 

1) Если |a| ≤ 1, то x = ± arccos a + 2πn, n ∈ Z. 

2) Если |a| > 1, то уравнение решений не имеет.

При решении квадратных уравнений с параметрами рассматриваются не все возможные случаи.

K Упражнение. При каком значении параметра a уравнение  ax2(3a + 2) · x + a = 0 имеет единственное решение. 

L Неправильное решение. 

D = (3a + 2)2 – 4a2 = 0, 

5a2 + 12a + 4 = 0, 

a1 = –2,  a2 = –0,4

и так далее. 

J Правильное решение.

Для уравнения ax2 – (3a + 2) · x + a = 0 единственное решение будет не только в случае D = 0, как решают многие, но и в том случае, когда уравнение вырождается в линейное при а = 0.

 

Системы уравнений с параметрами

При решении систем уравнений с параметрами почти всегда рассматривается неполный перечень возможных ситуаций. 

K Упражнение. Решить систему уравнений

\[\begin{cases} m\cdot x+y=n, \\ x+m\cdot y=m. \end{cases}\]

L Неправильное решение.

После преобразований получаем, что

\[ \begin{cases}(m^2-1)\cdot x=m\cdot n-m, \\(m^2-1)\cdot y=m^2-n, \end{cases}\]

то есть

\[ \large \begin{cases} x=\frac{m\cdot (n-1)}{m^2-1}, \\ y=\frac{m^2-n}{m^2-1}. \end{cases} \]

Комментарий. Решение не доведено до конца. 

J Правильное решение. 

1) Если m ≠ ±1,  то деление на m2 – 1 всегда возможно и система имеет единственное решение. 

2) Если m = ±1, а m · (n – 1) ≠ 0 и m2 – n ≠ 0, система решений не имеет. 

3) Если m = ±1, m · (– 1) = 0 и m2 – n = 0 (последнее равенство выполняется при n = 1), то система имеет бесконечно много решений. 

 

Неравенства с параметрами

При решении неравенств с параметрами довольно часто возникают проблемы с учетом допустимых значений параметров. 

K Упражнение. Решить неравенство  a · (x1)x2 >0. 

L Неправильное решение. 

a · x – a – x – 2 > 0; 

(a – 1) · x > a + 2; 

  x >  a + 2 .
a – 1

Комментарий. Решение следовало продолжить. 

J Правильное решение. 

1) Если а – 1 > 0, то есть при а > 1,

  x >  a + 2 .
a – 1

2) Если а – 1 < 0, то есть при а < 1,

  x >  a + 2 .
a – 1

3) Если а – 1 = 0, то есть при а = 1, решений нет, так как 0 · x > 3 – неверно для любых значений х.

 

Логарифмические и показательные неравенства с параметрами

При решении логарифмических и показательных неравенств с параметрами необходимо учитывать, что, в зависимости от величины основания (меньше 1 или больше 1), решение одного и того же неравенства требует рассмотрения совокупности случаев. 

K Упражнение. Решить неравенство  ах < а3. 

L Неправильное решение. 

х < 3. 

J Правильное решение. 

1) Если а > 1, то х < 3. 

2) Если 0 < a < 1, то x > 3.

K Упражнение. Решить неравенство  loga x ≥ loga 5. 

L Неправильное решение.

x ≥ 5.

J Правильное решение. 

1) Если а > 1, то х ≥ 5. 

2) Если 0 < a < 1, то 0 < x ≤ 5.

 

     Смотрите так же: 

Ошибки в тождественных преобразованиях

Ошибки в уравнениях

Ошибки в системах уравнений

Ошибки в неравенствах

Ошибки в упражнениях о функциях

Ошибки в упражнениях из начал анализа

Ошибки в геометрических задачах

 

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Новый раздел на сайте math4school.ru

Закончена работа над новым разделом сайта Работа над ошибками.

Союз образовательных сайтов