Math    schooL

 

 

Ошибки в упражнениях о функциях

 

Парабола в системе координат. Ошибки в упражнениях о функциях

 

Многие учащиеся затрудняются дать определение такого важнейшего понятия математики, как область определения функции, и не справляются с выполнением упражнений, в которых требуется ее установить.

K Упражнение. Найти область определения функции:

\[y=\frac{1}{\sqrt{-x}}+\sqrt{4+x}.\]

L Неправильное решение.

Рассматривается совокупность неравенств:

\[\left[ \begin{matrix}  -x > 0, \\ 4 + x \geq 0;  \end{matrix}\right.\]

которая, очевидно, приводит к совокупности

\[\left[ \begin{matrix}  x < 0, \\  x \geq  – 4.  \end{matrix}\right.\]

Ответ: \(\left[ \begin{matrix}  x < 0, \\  x \geq  – 4.  \end{matrix}\right.\)

Комментарий. Следует заметить, что при таком решении областью определения функции должны являться все действительные числа.

J Правильное решение.

На самом деле областью определения заданной функции является решение системы указанных неравенств, а именно, х ∈ [–4; 0).

При записи промежутков монотонности в ответ не включают концы интервалов.

K Упражнение. Указать промежутки монотонности функции  y = x2 – 4.

L Неправильное решение. 

Функция убывает при x ∈ (–∞; 0)  и  возрастает при x ∈ (0; +∞).

J Правильное решение.

Функция убывает при x ∈ (–∞; 0]  и  возрастает при x ∈ [0; +∞).

Наибольшее или наименьшее целое значение из области определения функции учащиеся зачастую путают с понятием наибольшего или наименьшего целого значения функции. 

K Упражнение. Найти наименьшее целое значение из области определения функции

\[f(x)=\sqrt{x-7}.\]

L Неправильное решение.

Так как правая часть функции принимает только неотрицательные значения, то наименьшее целое число – это 0.

Ответ: 0.

J Правильное решение.

Областью определения данной функции являются все значения аргумента, удовлетворяющие неравенству  x – 7 ≥ 0,  а значит, искомым наименьшим целым числом является число 7.

Ответ: 7.

Такое важное свойство, как периодичность тригонометрической функции, учащиеся обычно знают и могут определить, чему равен период заданной функции. Однако, если заданная функция представляет собой некую комбинацию тригонометрических функций, то с нахождением ее периода они, как правило, не справляются.

K Упражнение 1. Определить период функции  y = cos 5x – sin 2x.

L Неправильное решение.

Период для y = cos 5x – sin 2x определим следующим образом:

для y = cos 5x период равен 5 · 2π = 10π,

для y = sin 2x период равен 2 · 2π = 4π,

значит период данной функции равен 10π – 4π = 6π.

Ответ: .

Комментарий. Такое решение следует назвать не только неправильным, но абсолютно неправильным решением.

J Правильное решение.

Период для функции y = cos 5x равен /5, для функции y = sin 2x период равен /2 = π.

Значит, период исходной функции  y = cos 5x – sin 2x равен НОК (/5; π). Перейдя, для удобства вычислений, от радианной меры к градусной, получим

НОК (/5; π) = НОК (72°; 180°) = 360° = 2π

Ответ: . 

 

K Упражнение 2. Определить период функции  y = cos2 x.

L Неправильное решение. 

Период для  y = cos2 x определим следующим образом:

для y = cos x период равен , значит, для  y = cos2 x период равен .

Ответ: .

Комментарий. В данном случае сначала необходимо понизить степень, а затем определить период получившейся функции.

J Правильное решение.

Так как

cos2 x =  1 + cos 2x ,
2

то период функции y = cos2 x вычисляется следующим образом

 = π.  
2

Ответ: π.

 

     Смотрите так же: 

Ошибки в тождественных преобразованиях

Ошибки в уравнениях

Ошибки в системах уравнений

Ошибки в неравенствах

Ошибки в упражнениях с параметрами

Ошибки в упражнениях из начал анализа

Ошибки в геометрических задачах

 

Группа Математика для школы|math4school.ru ВКонтакте

Давно собирался и вот, наконец! Примерно так выглядит история нашей группы ВКонтакте. Сомнения в необходимости её существования отброшены, и первые материалы сообщества уже выложены.

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Союз образовательных сайтов