Math    schooL

 

 

Ошибки в упражнениях о функциях

 

Парабола в системе координат. Ошибки в упражнениях о функциях

 

Многие учащиеся затрудняются дать определение такого важнейшего понятия математики, как область определения функции, и не справляются с выполнением упражнений, в которых требуется ее установить.

K Упражнение. Найти область определения функции:

\[y=\frac{1}{\sqrt{-x}}+\sqrt{4+x}.\]

L Неправильное решение.

Рассматривается совокупность неравенств:

\[\left[ \begin{matrix}  -x > 0, \\ 4 + x \geq 0;  \end{matrix}\right.\]

которая, очевидно, приводит к совокупности

\[\left[ \begin{matrix}  x < 0, \\  x \geq  – 4.  \end{matrix}\right.\]

Ответ: \(\left[ \begin{matrix}  x < 0, \\  x \geq  – 4.  \end{matrix}\right.\)

Комментарий. Следует заметить, что при таком решении областью определения функции должны являться все действительные числа.

J Правильное решение.

На самом деле областью определения заданной функции является решение системы указанных неравенств, а именно, х ∈ [–4; 0).

При записи промежутков монотонности в ответ не включают концы интервалов.

K Упражнение. Указать промежутки монотонности функции  y = x2 – 4.

L Неправильное решение. 

Функция убывает при x ∈ (–∞; 0)  и  возрастает при x ∈ (0; +∞).

J Правильное решение.

Функция убывает при x ∈ (–∞; 0]  и  возрастает при x ∈ [0; +∞).

Наибольшее или наименьшее целое значение из области определения функции учащиеся зачастую путают с понятием наибольшего или наименьшего целого значения функции. 

K Упражнение. Найти наименьшее целое значение из области определения функции

\[f(x)=\sqrt{x-7}.\]

L Неправильное решение.

Так как правая часть функции принимает только неотрицательные значения, то наименьшее целое число – это 0.

Ответ: 0.

J Правильное решение.

Областью определения данной функции являются все значения аргумента, удовлетворяющие неравенству  x – 7 ≥ 0,  а значит, искомым наименьшим целым числом является число 7.

Ответ: 7.

Такое важное свойство, как периодичность тригонометрической функции, учащиеся обычно знают и могут определить, чему равен период заданной функции. Однако, если заданная функция представляет собой некую комбинацию тригонометрических функций, то с нахождением ее периода они, как правило, не справляются.

K Упражнение 1. Определить период функции  y = cos 5x – sin 2x.

L Неправильное решение.

Период для y = cos 5x – sin 2x определим следующим образом:

для y = cos 5x период равен 5 · 2π = 10π,

для y = sin 2x период равен 2 · 2π = 4π,

значит период данной функции равен 10π – 4π = 6π.

Ответ: .

Комментарий. Такое решение следует назвать не только неправильным, но абсолютно неправильным решением.

J Правильное решение.

Период для функции y = cos 5x равен /5, для функции y = sin 2x период равен /2 = π.

Значит, период исходной функции  y = cos 5x – sin 2x равен НОК (/5; π). Перейдя, для удобства вычислений, от радианной меры к градусной, получим

НОК (/5; π) = НОК (72°; 180°) = 360° = 2π

Ответ: . 

 

K Упражнение 2. Определить период функции  y = cos2 x.

L Неправильное решение. 

Период для  y = cos2 x определим следующим образом:

для y = cos x период равен , значит, для  y = cos2 x период равен .

Ответ: .

Комментарий. В данном случае сначала необходимо понизить степень, а затем определить период получившейся функции.

J Правильное решение.

Так как

cos2 x =  1 + cos 2x ,
2

то период функции y = cos2 x вычисляется следующим образом

 = π.  
2

Ответ: π.

 

     Смотрите так же: 

Ошибки в тождественных преобразованиях

Ошибки в уравнениях

Ошибки в системах уравнений

Ошибки в неравенствах

Ошибки в упражнениях с параметрами

Ошибки в упражнениях из начал анализа

Ошибки в геометрических задачах

 

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Новый раздел на сайте math4school.ru

Закончена работа над новым разделом сайта Работа над ошибками.

Союз образовательных сайтов