Math    schooL

 

 

Ошибки в упражнениях из начал анализа

 

Интеграл. Ошибки в упражнениях из начал анализа

 

Применение производной

Далеко не всегда при помощи элементарных преобразований можно построить график заданной функции. Зачастую это проще сделать с помощью производной. Но иногда и такой способ исследования свойств функций и построения графиков вызывает у учащихся трудности. Рассмотрим некоторые из допускаемых ошибок.

За критическую точку принимают точку, не входящую в область определения заданной функции.

K Упражнение. Определить критические точки функции 

\[y=\frac{x^2}{x+2}.\]

L Неправильное решение. 

Если

\[y=\frac{x^2}{x+2},\]

то

\[y'=\frac{2x\cdot (x+2)-x^2\cdot 1}{(x+2)^2}=\frac{x^2+4x}{(x+2)^2}\]

и –4, –2, 0 — критические точки.

Ответ: –4, –2  и  0.

Комментарий. При х = –2 заданная функция не существует.

J Правильный ответ.

Ответ: –4  и  0.

Нередко точкой экстремума считают точку, в которой производная равна нулю.

K Упражнение. Найти точки экстремума функции у = х3.

L Неправильное решение. 

Для функции у = х3 производная равна  у′ = 3х2, значение которой, очевидно равно 0 при х = 0.

Значит, х = 0 – точка экстремума.

Ответ: х = 0.

Комментарий. Если нанести точку х = 0 на координатную прямую и определить знаки производной по одну и по другую стороны от этой точки, то при переходе через нее обнаружится, что производная не меняет знак, а значит, эта точка не является точкой экстремума.

J Правильный ответ.

Функция не имеет точек экстремума.

Часто учащиеся не видят разницы между экстремумом и точкой экстремума функции.

K Упражнение. Найти экстремум функции  у = х2 + 2х + 3.

L Неправильное решение. 

Для функции  у = х2 + 2х + 3  найдем экстремум:

у′ = 2х + 2,

у′ = 0  при  2х + 2 = 0,  х = –1. Проверкой убеждаемся, что знак производной меняется с на + при переходе через точку х = –1 слева направо.

Ответ: х = –1.

Комментарий. При решении была найдена точка экстремума, а именно, точка минимума. Чтобы найти экстремум, нужно еще найти значение функции в точке экстремума, то есть вычислить соответствующее значение у.

J Правильное решение.

Решение, приведенное выше, следует продолжить:

хmin = –1,

уmin = у(хmin) = у(–1) = (–1)2 + 2 · (–1) + 3 = 1 – 2 + 3 = 2.

Ответ: 2.  

 

Применение геометрического смысла производной

Далеко не все учащиеся правильно понимают и умеют применять геометрический смысл производной.

Если в условии задачи предлагается найти тангенс угла наклона касательной, проведенной к заданной функции в заданной точке, то учащиеся порой пишут уравнение касательной, что приводит к лишним вычислениям, в то время как достаточно было найти производную и вычислить ее значение в заданной точке.

При написании уравнения касательной учащиеся забывают, что искомым уравнением является уравнение вида  kx + b, где f ′ (x0).

K Упражнение. Написать уравнение касательной к графику функции у = х3 в точке х0 = 1.

L Неправильное решение. 

y′ = 3x2;

y0 = y(х0) = y(1) = 13 = 1.

Уравнение касательной имеет вид: у = 3x2 · (х – 1) + 1.

Ответ: у = 3x2 · (х – 1) + 1.

Комментарий. Здесь в качестве k появилась производная функции у(х) вместо ее значения в точке х0.

J Правильное решение.

y0 = y(х0) = y(1) = 13 = 1;

y′ = 3x2;

y′(х0) = y′(1) = 3 · 12 = 3.

Уравнение касательной имеет вид:  у = 3 · (х – 1) + 1,   у = 3х – 2.

Ответ: у = 3х – 2.

При нестандартных условиях, например, при написании уравнения касательной, проходящей через точку, не принадлежащую графику заданной функции, отсутствие должной проверки приводит к ошибочным результатам.

K Упражнение. Написать уравнение касательной к графику функции у = х2, проходящей через точку М(2; 3).

L Неправильное решение.

Из условия следует, что х0 = хМ = 2. Тогда

y′ = 2x;

y′(х0) = y′(2) = 2 · 2 = 4.

Так как  у0 = уМ = 3, то уравнение касательной имеет вид:

у = 4 · (х – 2) + 3,  у = 4х – 5.

Ответ: у = 4х – 5.

Комментарий. Сначала нужно было проверить, принадлежит ли точка М параболе  у = х2. Так как 

3 = уМ ≠ у(хМ) = у(2) = 22 = 4,

то точка М не принадлежит графику функции, и х0 – абсцисса точи касания – неизвестен.

J Правильное решение.

y0 = y(х0) = х02;

y′ = 2x;

y′(х0) = 2х0.

Уравнение касательной имеет вид: у = 2х0 · (хх0) + х02.

Учитывая, что касательная проходит через точку М(2; 3), имеем:

3 = 2х0 · (2 – х0) + х02,

х02 – 4х0 + 3 = 0,

х0 = 1  или  х0 =3.

Значит, существуют две касательные к параболе у = х2, проходящие через точку М:

1)  у = 2 ·· (х – 1) + 12,   у = 2х –1;

2)  у = 2 ·· (х – 3) + 32,   у = 6х – 9.      

Ответ:  у = 2х –1  и  у = 6х – 9.

 

Ошибки в интегрировании

При интегрировании сложной функции вида y = f (kx + b) забывают, что ее первообразная равна  1/k · F (kx + b).

K Упражнение. Вычислить неопределенный интеграл

\[\int \frac{1}{\cos^2 3x}dx.\]

L Неправильное решение. 

\[\int \frac{1}{\cos^2 3x}dx=\mathrm{tg}\; 3x+C.\]

J Правильное решение.

\[\int \frac{1}{\cos^2 3x}dx=\frac{1}{3}\mathrm{tg}\; 3x+C.\]

Достаточно часто допускаются ошибки при применении формулы Ньютона–Лейбница.

K Упражнение 1. Вычислить значение определенного интеграла

\[\int_{1}^{2}{3x^2}dx.\]

L Неправильное решение. 

\[\int_{1}^{2}{3x^2}dx=x^3\left| \begin{matrix} 2\\ 1 \end{matrix}\right.=(2-1)^3=1.\]

J Правильное решение.

\[\int_{1}^{2}{3x^2}dx=x^3\left| \begin{matrix} 2\\ 1 \end{matrix}\right.=2^3-1^3=7.\]

 

K Упражнение 2. Вычислить значение определенного интеграла

\[\int_{\pi /2}^{\pi}{\sin 2x}dx.\]

L Неправильное решение. 

\[\int_{\pi /2}^{\pi}{\sin 2x}dx=-\frac{1}{2}\cos 2x\left| \begin{matrix} \pi\\ \pi /2 \end{matrix}\right.=\frac{1}{2}(\cos 2\pi-\cos \pi)=\frac{1}{2}(1+1)=1.\]

J Правильное решение.

\[\int_{\pi /2}^{\pi}{\sin 2x}dx=-\frac{1}{2}\cos 2x\left| \begin{matrix} \pi\\ \pi /2 \end{matrix}\right.=\frac{1}{2}\cos 2x\left| \begin{matrix} \pi/2\\ \pi  \end{matrix}\right.=\frac{1}{2}(\cos \pi-\cos 2\pi)=\frac{1}{2}(-1-1)=-1.\]

Интеграл от произведения или частного двух функций ошибочно считается равным произведению или частному интегралов от этих функций.

K Упражнение 1. Вычислить неопределенный интеграл

\[\int \sin 2x\sin 4xdx.\]

L Неправильное решение. 

\[\int \sin 2x\sin 4xdx=\int \sin 2xdx\cdot \int \sin 4xdx=\frac{1}{2}\cos 2x\cdot \frac{1}{4}\cos 4x+C=\frac{1}{8}\cos 2x\cos 4x+C.\]

J Правильное решение.

\[\int \sin 2x\sin 4xdx=\int \frac{1}{2}(\cos 2x-\cos 6x)dx=\frac{1}{2}\int \cos 2xdx-\frac{1}{2}\int \cos 6xdx=\]

\[=\frac{1}{4}\sin 2x-\frac{1}{12}\sin 6x+C.\]

 

K Упражнение 2. Вычислить неопределенный интеграл

\[\int \frac{x^2+x}{x}dx.\]

L Неправильное решение. 

\[\int \frac{x^2+x}{x}dx=\frac{\int (x^2+x)dx}{\int xdx}=\frac{\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+C_{1}}{\frac{x^2}{2}+C_{2}}.\]

J Правильное решение.

\[\int \frac{x^2+x}{x}dx=\int \left(\frac{x^2}{x}+\frac{x}{x} \right)dx=\int \left(x+1 \right)dx=\frac{x^2}{2}+x+C.\]

 

     Смотрите так же: 

Ошибки в тождественных преобразованиях

Ошибки в уравнениях

Ошибки в системах уравнений

Ошибки в неравенствах

Ошибки в упражнениях с параметрами

Ошибки в упражнениях о функциях

Ошибки в геометрических задачах

 

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Новый раздел на сайте math4school.ru

Закончена работа над новым разделом сайта Работа над ошибками.

Союз образовательных сайтов