Math    schooL

 

 

Ошибки в тождественных преобразованиях

 

Красные шары в кольцах. Ошибки в тожественных преобразованиях.

 

При упрощении выражений, вычислении их значений, при решении уравнений и неравенств необходимо производить тождественные преобразования заданных выражений. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся ошибки при тождественных преобразованиях.

 

Нарушение порядка действий

K Упражнение. Упростить выражение

\[1-\frac{\sqrt{x}}{x-1}:\frac{\sqrt{x}-1}{x}\]

L Неправильное решение. 

Сначала

\[1-\frac{\sqrt{x}}{x-1}=\frac{x-1-\sqrt{x}}{x-1}\]

затем

\[\frac{x-1-\sqrt{x}}{x-1}:\frac{\sqrt{x}-1}{x}\]

и так далее. 

J Правильное решение.

Сначала следует выполнить

\[\frac{\sqrt{x}}{x-1}:\frac{\sqrt{x}-1}{x}\]

затем произвести вычитание.

Для удобства принятия решения о последовательности выполнения действий их разделили на две ступени:

первая ступень – сложение и вычитание,

вторая ступень – умножение и деление.

При нахождении значения выражения или его упрощении действия выполняются в следующем порядке:

  1. В выражении отсутствуют скобки, и оно включает в себя действия только одной ступени, тогда все операции выполняются по порядку слева на право.

  2. Если в выражении отсутствуют скобки, и присутствуют действия двух ступеней. Тогда в первую очередь выполняются действия второй ступени, а во вторую действия первой ступени. Правило слева направо при выполнении действий одинаковой ступени выполняется.

  3. Если выражение содержит скобки, то действия в скобках выполняются в первую очередь. Остальные действия выполняются в соответствии с правилами 1. и 2.

 

Нарушение правил действий над степенями и многочленами

Нередко учащиеся неверно применяют формулы сокращенного умножения, нарушают правила действий над степенями с рациональным показателем.

 

L

Неправильное решение

J

Правильное решение

\[\left(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}} \right)^{-3}=\frac{1}{a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}}\]

\[\left(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}} \right)^{-3}=\frac{1}{\left(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}} \right)^{3}}\]
\[\frac{a^3-b^3}{a-b}=a^2-b^2\] \[\frac{a^3-b^3}{a-b}=a^2+ab+b^2\]
\[\left(a-b \right)^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}\] \[\left(a-b \right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a-b}\]
\[a^{-1}+b^{-1}=\frac{1}{a+b}\] \[a^{-1}+b^{-1}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\]
\[16^x-4^x=(16-4)^x\] \[16^x-4^x=4^x(4^x-1)\]
\[9^{2-x}=9^2-9^x\] \[9^{2-x}=9^2:9^x\]

  

Разложение многочленов на множители выполняется нерационально или не доводится до конца.

K Упражнение. Разложить многочлен x3 – x2 – x + 1 на множители.

L Неправильное решение.

x3 – x2 – x + 1 = x2 · (x – 1) – (x + 1) =  дальше продолжить не удалось.

J Правильное решение. 

x3x2x + 1 = x2 · (x – 1) – (x – 1) = (x2 – 1) · (x – 1) =

= (x + 1) · (x – 1) · (x – 1) = (x + 1) · (x – 1)2.

 

Сокращение дробей

Очень распространенной ошибкой является попытка сократить стоящие в числителе и знаменателе одинаковые выражения, одно из которых (или в числителе, или в знаменателе), а порой и оба, являются не сомножителями, а слагаемыми.

 

L

Неправильное решение

J

Правильное решение

\[\frac{2m+2(m+n)^3}{(m+n)^2(2m+n)}=\frac{2m+2(m+n)}{2m+n}\]

 

Сократить нельзя

\[\frac{\sin \alpha +\cos \alpha }{\sin \alpha}=1+\cos \alpha\]

 

Сократить нельзя

\[\frac{a^4-b^4}{a-b}=a^3-b^3\]

\[\frac{a^4-b^4}{a-b}=\frac{(a^2+b^2)(a-b)(a+b)}{(a-b)}=\]

\[=(a^2+b^2)(a+b)\]

\[\frac{\sin \alpha +\sin 2\alpha -\sin 3\alpha }{\cos \alpha +\cos 2\alpha -\cos 3\alpha }=\]

\[=\tan \alpha +\tan 2\alpha-\tan 3\alpha\]

 

Сократить нельзя

\[\frac{\sqrt{a^3b}\left(a\sqrt{a}+b\sqrt{b} \right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\]

Сокращение не произведено

\[\frac{\sqrt{a^3b}\left(a\sqrt{a}+b\sqrt{b} \right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\]

\[=\frac{\sqrt{a^3b}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b} \right)\left(a-\sqrt{ab}+b \right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\]

\[=\sqrt{a^3b}\left(a-\sqrt{ab}+b \right)\]

 

Неправильное выполнение действий с арифметическими корнями 

 

L

Неправильное решение

J

Правильное решение

\[\sqrt{\left(4-\sqrt{32} \right)^2}=4-\sqrt{32}\]

\[\sqrt{\left(4-\sqrt{32} \right)^2}=\sqrt{32}-4\]

\[\sqrt{\frac{a+1}{(1-a)^2}}=\frac{\sqrt{a+1}}{1-a}\]

при а > 1

\[\sqrt{\frac{a+1}{(1-a)^2}}=\frac{\sqrt{a+1}}{a-1}\]

при а > 1

\[\sqrt{a^2+b^2}=a+b\]

Упростить невозможно 

\[b\sqrt{2}=\sqrt{2b^2}\]

при b < 1

\[b\sqrt{2}=-1\sqrt{2b^2}\]

при b < 1 

 

Необходимо помнить, что для любого действительного числа а и натурального k верно:

\[\sqrt[2k+1]{a^{2k+1}}=a,\]

\[\sqrt[2k]{a^{2k}}=\left| a\right|.\]

 

Ошибки тригонометрического характера

При нахождении одной из тригонометрических функций через заданное значение другой не учитываются знаки тригонометрических функций в зависимости от положения угла. 

K Упражнение. Найти  ctg α, если  sin α = 0,8.

L Неправильное решение. 

1 + ctg2 α = sin–2 α, 

1 + ctg2 α = 25/16,

ctg2 α = 9/16,

ctg α = 3/4.

Комментарий. Здесь ошибка заключается в том, что при извлечении корня мы можем получить как положительное значение, так и отрицательное, то есть ctg α = ± 3/4, поэтому необходимо искать решение отдельно в каждой четверти.

J Правильное решение.

Так как sin α > 0, то α может находиться только в I или во II четверти, значит:

1) если α – угол первой четверти, то ctg α = 3/4;

2) если α – угол второй четверти, то ctg α = – 3/4.

 

     Смотрите так же: 

Ошибки в уравнениях

Ошибки в системах уравнений

Ошибки в неравенствах

Ошибки в упражнениях с параметрами

Ошибки в упражнениях о функциях

Ошибки в упражнениях из начал анализа

Ошибки в геометрических задачах

 

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Новый раздел на сайте math4school.ru

Закончена работа над новым разделом сайта Работа над ошибками.

Союз образовательных сайтов