Math    schooL

 

 

Ошибки в тождественных преобразованиях

 

Красные шары в кольцах. Ошибки в тожественных преобразованиях.

 

При упрощении выражений, вычислении их значений, при решении уравнений и неравенств необходимо производить тождественные преобразования заданных выражений. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся ошибки при тождественных преобразованиях.

 

Нарушение порядка действий

K Упражнение. Упростить выражение

\[1-\frac{\sqrt{x}}{x-1}:\frac{\sqrt{x}-1}{x}\]

L Неправильное решение. 

Сначала

\[1-\frac{\sqrt{x}}{x-1}=\frac{x-1-\sqrt{x}}{x-1}\]

затем

\[\frac{x-1-\sqrt{x}}{x-1}:\frac{\sqrt{x}-1}{x}\]

и так далее. 

J Правильное решение.

Сначала следует выполнить

\[\frac{\sqrt{x}}{x-1}:\frac{\sqrt{x}-1}{x}\]

затем произвести вычитание.

Для удобства принятия решения о последовательности выполнения действий их разделили на две ступени:

первая ступень – сложение и вычитание,

вторая ступень – умножение и деление.

При нахождении значения выражения или его упрощении действия выполняются в следующем порядке:

  1. В выражении отсутствуют скобки, и оно включает в себя действия только одной ступени, тогда все операции выполняются по порядку слева на право.

  2. Если в выражении отсутствуют скобки, и присутствуют действия двух ступеней. Тогда в первую очередь выполняются действия второй ступени, а во вторую действия первой ступени. Правило слева направо при выполнении действий одинаковой ступени выполняется.

  3. Если выражение содержит скобки, то действия в скобках выполняются в первую очередь. Остальные действия выполняются в соответствии с правилами 1. и 2.

 

Нарушение правил действий над степенями и многочленами

Нередко учащиеся неверно применяют формулы сокращенного умножения, нарушают правила действий над степенями с рациональным показателем.

 

L

Неправильное решение

J

Правильное решение

\[\left(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}} \right)^{-3}=\frac{1}{a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}}\]

\[\left(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}} \right)^{-3}=\frac{1}{\left(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}} \right)^{3}}\]
\[\frac{a^3-b^3}{a-b}=a^2-b^2\] \[\frac{a^3-b^3}{a-b}=a^2+ab+b^2\]
\[\left(a-b \right)^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}\] \[\left(a-b \right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a-b}\]
\[a^{-1}+b^{-1}=\frac{1}{a+b}\] \[a^{-1}+b^{-1}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\]
\[16^x-4^x=(16-4)^x\] \[16^x-4^x=4^x(4^x-1)\]
\[9^{2-x}=9^2-9^x\] \[9^{2-x}=9^2:9^x\]

  

Разложение многочленов на множители выполняется нерационально или не доводится до конца.

K Упражнение. Разложить многочлен x3 – x2 – x + 1 на множители.

L Неправильное решение.

x3 – x2 – x + 1 = x2 · (x – 1) – (x + 1) =  дальше продолжить не удалось.

J Правильное решение. 

x3x2x + 1 = x2 · (x – 1) – (x – 1) = (x2 – 1) · (x – 1) =

= (x + 1) · (x – 1) · (x – 1) = (x + 1) · (x – 1)2.

 

Сокращение дробей

Очень распространенной ошибкой является попытка сократить стоящие в числителе и знаменателе одинаковые выражения, одно из которых (или в числителе, или в знаменателе), а порой и оба, являются не сомножителями, а слагаемыми.

 

L

Неправильное решение

J

Правильное решение

\[\frac{2m+2(m+n)^3}{(m+n)^2(2m+n)}=\frac{2m+2(m+n)}{2m+n}\]

 

Сократить нельзя

\[\frac{\sin \alpha +\cos \alpha }{\sin \alpha}=1+\cos \alpha\]

 

Сократить нельзя

\[\frac{a^4-b^4}{a-b}=a^3-b^3\]

\[\frac{a^4-b^4}{a-b}=\frac{(a^2+b^2)(a-b)(a+b)}{(a-b)}=\]

\[=(a^2+b^2)(a+b)\]

\[\frac{\sin \alpha +\sin 2\alpha -\sin 3\alpha }{\cos \alpha +\cos 2\alpha -\cos 3\alpha }=\]

\[=\tan \alpha +\tan 2\alpha-\tan 3\alpha\]

 

Сократить нельзя

\[\frac{\sqrt{a^3b}\left(a\sqrt{a}+b\sqrt{b} \right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\]

Сокращение не произведено

\[\frac{\sqrt{a^3b}\left(a\sqrt{a}+b\sqrt{b} \right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\]

\[=\frac{\sqrt{a^3b}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b} \right)\left(a-\sqrt{ab}+b \right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\]

\[=\sqrt{a^3b}\left(a-\sqrt{ab}+b \right)\]

 

Неправильное выполнение действий с арифметическими корнями 

 

L

Неправильное решение

J

Правильное решение

\[\sqrt{\left(4-\sqrt{32} \right)^2}=4-\sqrt{32}\]

\[\sqrt{\left(4-\sqrt{32} \right)^2}=\sqrt{32}-4\]

\[\sqrt{\frac{a+1}{(1-a)^2}}=\frac{\sqrt{a+1}}{1-a}\]

при а > 1

\[\sqrt{\frac{a+1}{(1-a)^2}}=\frac{\sqrt{a+1}}{a-1}\]

при а > 1

\[\sqrt{a^2+b^2}=a+b\]

Упростить невозможно 

\[b\sqrt{2}=\sqrt{2b^2}\]

при b < 1

\[b\sqrt{2}=-1\sqrt{2b^2}\]

при b < 1 

 

Необходимо помнить, что для любого действительного числа а и натурального k верно:

\[\sqrt[2k+1]{a^{2k+1}}=a,\]

\[\sqrt[2k]{a^{2k}}=\left| a\right|.\]

 

Ошибки тригонометрического характера

При нахождении одной из тригонометрических функций через заданное значение другой не учитываются знаки тригонометрических функций в зависимости от положения угла. 

K Упражнение. Найти  ctg α, если  sin α = 0,8.

L Неправильное решение. 

1 + ctg2 α = sin–2 α, 

1 + ctg2 α = 25/16,

ctg2 α = 9/16,

ctg α = 3/4.

Комментарий. Здесь ошибка заключается в том, что при извлечении корня мы можем получить как положительное значение, так и отрицательное, то есть ctg α = ± 3/4, поэтому необходимо искать решение отдельно в каждой четверти.

J Правильное решение.

Так как sin α > 0, то α может находиться только в I или во II четверти, значит:

1) если α – угол первой четверти, то ctg α = 3/4;

2) если α – угол второй четверти, то ctg α = – 3/4.

 

     Смотрите так же: 

Ошибки в уравнениях

Ошибки в системах уравнений

Ошибки в неравенствах

Ошибки в упражнениях с параметрами

Ошибки в упражнениях о функциях

Ошибки в упражнениях из начал анализа

Ошибки в геометрических задачах

 

Группа Математика для школы|math4school.ru ВКонтакте

Давно собирался и вот, наконец! Примерно так выглядит история нашей группы ВКонтакте. Сомнения в необходимости её существования отброшены, и первые материалы сообщества уже выложены.

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.