Math    schooL

 

 

Ошибки в системах уравнений

 

Четыре красных треугольника. Ошибки в системах уравнений.

 

Системы уравнений с двумя переменными – один из самых распространенных видов упражнений в математических тестах, письменных работах и экзаменах различных уровней. Если система решена правильно, то ответ не зависит от выбранного метода решения. Но ошибки, допускаемые учащимися при решении систем, часто связаны не только с решением, а и с неправильной формой записи.

K Упражнение. Решить систему уравнений:

\[\begin{cases} \log _{2}xy=5, \\ \log _{\frac{1}{2}}\frac{x}{y}=1. \end{cases}\]

L Неправильная запись. 

\[\begin{cases} \log _{2}xy=5, \\ \frac{x}{y}=\frac{1}{2}; \end{cases} \begin{cases} \log _{2}xy=5, \\ y=2x; \end{cases} \begin{cases} \log _{2}2x^2=5, \\ y=2x; \end{cases} \begin{cases} 2x^2=2^5, \\ y=2x; \end{cases} \begin{cases} x^2=16, \\ y=2x; \end{cases} \begin{cases} x=\pm 4, \\ y=2x; \end{cases} \begin{cases} x=\pm 4, \\ y=\pm 8. \end{cases}\]

Ответ: (±4; ±8).

Комментарий. Использованная при записи ответа форма записи, как правило, подразумевает четыре пары чисел:

(4; 8), (–4; –8), (4; –8)  и  (–4; 8),

тогда как в действительности эта система имеет только два решения:

(4; 8)  и  (–4; –8).

Справедливости ради, следует сказать, что действительно, иногда под записью (±4; ±8) понимают только пары 

(4; 8)  и  (–4; –8),

а для пар 

(4; –8)  и  (–4; 8)

используют запись (±4; ∓8). С этих позиций ответ (±4; ±8) является верным. Не будучи уверенным в правильной трактовке ваших записей, следует избегать подобных двойственностей.

J Правильный ответ.

Ответ: (4; 8), (–4; –8).

K Упражнение. Решить систему уравнений 

\[\begin{cases} x^2+2xy+y^2=4, \\ x^2-2xy+y^2=9. \end{cases}\]

L Неправильное решение.

\[ \begin{cases} ( x+y)^2=4, \\ ( x-y)^2=9; \end{cases} \begin{cases}  x+y=2, \\ x-y=3; \end{cases} \begin{cases} 2x=5, \\ 2y=-1; \end{cases} \begin{cases} x=2,5, \\ y=-0,5. \end{cases}\]

Ответ: (2,5; –0,5).

Комментарий. При решении системы методом извлечения корня из обеих частей уравнений следует рассмотреть совокупность систем уравнений, решение которой, в данном случае, даст четыре решения.

J Правильное решение.

\[\begin{cases} ( x+y)^2=4, \\ ( x-y)^2=9; \end{cases}\left[ \begin{matrix} \begin{cases} x+y=2, \\ x-y=3, \end{cases}\\ \begin{cases} x+y=-2, \\ x-y=3, \end{cases} \\ \begin{cases} x+y=2, \\ x-y=-3, \end{cases} \\ \begin{cases} x+y=-2, \\ x-y=-3; \end{cases} \end{matrix}\right. \left[ \begin{matrix} \begin{cases} 2x=5, \\ 2y=-1, \end{cases}\\ \begin{cases} 2x=1, \\ 2y=-5, \end{cases} \\ \begin{cases} 2x=-1, \\ 2y=5, \end{cases} \\ \begin{cases} 2x=-5, \\ 2y=1; \end{cases} \end{matrix}\right.\left[ \begin{matrix} \begin{cases} x=2,5, \\ y=-0,5, \end{cases}\\ \begin{cases} x=0,5, \\ y=-2,5, \end{cases} \\ \begin{cases} x=-0,5, \\ y=2,5, \end{cases} \\ \begin{cases} x=-2,5, \\ y=0,5. \end{cases} \end{matrix}\right.\]

Ответ: (2,5; –0,5), (0,5; –2,5), (–0,5; 2,5)  и  (–2,5; 0,5).

 

     Смотрите так же: 

Ошибки в тождественных преобразованиях

Ошибки в уравнениях

Ошибки в неравенствах

Ошибки в упражнениях с параметрами

Ошибки в упражнениях о функциях

Ошибки в упражнениях из начал анализа

Ошибки в геометрических задачах

 

Группа Математика для школы|math4school.ru ВКонтакте

Давно собирался и вот, наконец! Примерно так выглядит история нашей группы ВКонтакте. Сомнения в необходимости её существования отброшены, и первые материалы сообщества уже выложены.

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Союз образовательных сайтов