Math    schooL

 

 

Ошибки в системах уравнений

 

Четыре красных треугольника. Ошибки в системах уравнений.

 

Системы уравнений с двумя переменными – один из самых распространенных видов упражнений в математических тестах, письменных работах и экзаменах различных уровней. Если система решена правильно, то ответ не зависит от выбранного метода решения. Но ошибки, допускаемые учащимися при решении систем, часто связаны не только с решением, а и с неправильной формой записи.

K Упражнение. Решить систему уравнений:

\[\begin{cases} \log _{2}xy=5, \\ \log _{\frac{1}{2}}\frac{x}{y}=1. \end{cases}\]

L Неправильная запись. 

\[\begin{cases} \log _{2}xy=5, \\ \frac{x}{y}=\frac{1}{2}; \end{cases} \begin{cases} \log _{2}xy=5, \\ y=2x; \end{cases} \begin{cases} \log _{2}2x^2=5, \\ y=2x; \end{cases} \begin{cases} 2x^2=2^5, \\ y=2x; \end{cases} \begin{cases} x^2=16, \\ y=2x; \end{cases} \begin{cases} x=\pm 4, \\ y=2x; \end{cases} \begin{cases} x=\pm 4, \\ y=\pm 8. \end{cases}\]

Ответ: (±4; ±8).

Комментарий. Использованная при записи ответа форма записи, как правило, подразумевает четыре пары чисел:

(4; 8), (–4; –8), (4; –8)  и  (–4; 8),

тогда как в действительности эта система имеет только два решения:

(4; 8)  и  (–4; –8).

Справедливости ради, следует сказать, что действительно, иногда под записью (±4; ±8) понимают только пары 

(4; 8)  и  (–4; –8),

а для пар 

(4; –8)  и  (–4; 8)

используют запись (±4; ∓8). С этих позиций ответ (±4; ±8) является верным. Не будучи уверенным в правильной трактовке ваших записей, следует избегать подобных двойственностей.

J Правильный ответ.

Ответ: (4; 8), (–4; –8).

K Упражнение. Решить систему уравнений 

\[\begin{cases} x^2+2xy+y^2=4, \\ x^2-2xy+y^2=9. \end{cases}\]

L Неправильное решение.

\[ \begin{cases} ( x+y)^2=4, \\ ( x-y)^2=9; \end{cases} \begin{cases}  x+y=2, \\ x-y=3; \end{cases} \begin{cases} 2x=5, \\ 2y=-1; \end{cases} \begin{cases} x=2,5, \\ y=-0,5. \end{cases}\]

Ответ: (2,5; –0,5).

Комментарий. При решении системы методом извлечения корня из обеих частей уравнений следует рассмотреть совокупность систем уравнений, решение которой, в данном случае, даст четыре решения.

J Правильное решение.

\[\begin{cases} ( x+y)^2=4, \\ ( x-y)^2=9; \end{cases}\left[ \begin{matrix} \begin{cases} x+y=2, \\ x-y=3, \end{cases}\\ \begin{cases} x+y=-2, \\ x-y=3, \end{cases} \\ \begin{cases} x+y=2, \\ x-y=-3, \end{cases} \\ \begin{cases} x+y=-2, \\ x-y=-3; \end{cases} \end{matrix}\right. \left[ \begin{matrix} \begin{cases} 2x=5, \\ 2y=-1, \end{cases}\\ \begin{cases} 2x=1, \\ 2y=-5, \end{cases} \\ \begin{cases} 2x=-1, \\ 2y=5, \end{cases} \\ \begin{cases} 2x=-5, \\ 2y=1; \end{cases} \end{matrix}\right.\left[ \begin{matrix} \begin{cases} x=2,5, \\ y=-0,5, \end{cases}\\ \begin{cases} x=0,5, \\ y=-2,5, \end{cases} \\ \begin{cases} x=-0,5, \\ y=2,5, \end{cases} \\ \begin{cases} x=-2,5, \\ y=0,5. \end{cases} \end{matrix}\right.\]

Ответ: (2,5; –0,5), (0,5; –2,5), (–0,5; 2,5)  и  (–2,5; 0,5).

 

     Смотрите так же: 

Ошибки в тождественных преобразованиях

Ошибки в уравнениях

Ошибки в неравенствах

Ошибки в упражнениях с параметрами

Ошибки в упражнениях о функциях

Ошибки в упражнениях из начал анализа

Ошибки в геометрических задачах

 

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Новый раздел на сайте math4school.ru

Закончена работа над новым разделом сайта Работа над ошибками.

Союз образовательных сайтов