Math    schooL

 

 

Ошибки в неравенствах

 

Два красных треугольника. Ошибки в неравенствах

 

Неравенства по праву считаются одним из самых трудных разделов школьной математики, и при их решении допускается наибольшее количество ошибок. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся из них.

 

Некоторые общие ошибки 

 

K 

Упражнение

L

Неправильно

J

Правильно

 Указать наименьшее целое решение неравенства:

 x > 4

 х ∈ (4; +∞), наименьшее целое число 4.

Ответ:x = 4

х ∈ (4; +∞), наименьшее целое число 5

Ответ:  x = 5.       

Решить неравенство:

х < 1

x < –1

Ответ: (–∞; –1)

x > –1

Ответ: (–1; +∞)

Сравнить a и b, если

1/a < 1/b

Ответ: если a и bположительные, то ab если и отрицательные, то a < b 

Ответ: если · b > 0, то a > b;
если · b < 0, то a < b

Оценить х из 0,25 ≤ 1/x ≤ 2

Ответ:4 ≥ х ≥ 0,5

 Ответ: 0,5 ≤ х ≤ 4

\[a< x< b\]

\[\left[\begin{matrix} x> a\\ x< b \end{matrix} \right.\]

\[\begin{cases} x> a\\ x< b \end{cases} \]

 

Ошибки в квадратных неравенствах

Квадратные(квадратичные)неравенства – неравенства вида

2 + bx + c > 0,  (< 0,  ≥ 0,  ≤ 0)

часто решаются разложением левой части на линейные множители, то есть

2 + bx + c = a (xx1) (xx2) > 0,

где x1 и x2 – корни квадратного трехчлена 2 + bx +c. Это возможно сделать, когда корни квадратного трехчлена являются действительными числами. Однако в некоторых случаях при решении неравенств этим способом можно легко прийти к неверному заключению.

 

K 

Решить неравенство

L

Неправильное решение

J

Правильное решение

 – х2 + 5x– 6 < 0

– (x – 2) (x – 3) < 0,

х ∈ (2; 3).

Ответ: (2; 3) 

х2 – 5x + 6 < 0,

(x – 2) (x – 3) > 0,

 х ∈ (–∞; 2)∪(3; +∞).

Ответ: (–∞; 2)∪(3; +∞)

х2 + 6+ 9 ≥ 0

(х+ 3)2 ≥ 0,

х + 3 ≥ 0,

х ≥ –3.

Ответ: [–3; +∞)

Неравенство (х + 3)2 ≥ 0 выполняется для всех значений х, значит х – любое число.

 Ответ: (–∞; +∞)

 х2 – 4+ 4 > 0

Неравенство (х– 2)2 > 0 выполняется для всех значений х, значит х – любое число.

Ответ: (–∞; +∞)

При х = 2  (х– 2)2 = 0, значит,

х ≠ 2.

Ответ: (–∞; 2)∪(2; +∞)

 х2 + 10+ 25 ≤ 0

(х + 5)2 ≤ 0 – решений нет.

Ответ: Ø

Неравенство (х + 5)2 ≤ 0  выполняется при единственном значении х = –5.

Ответ: –5

 х2 + + 2 > 0

Так как D = 12 – 2·2 = –3 < 0,

то решений нет.

Ответ: Ø 

Так как старший коэффициент положительный и D < 0, то при любом значении х левая часть неравенства положительна.

Ответ: (–∞; +∞)

х2 – 9 ≤ 0

х2 ≤ 9,

х ≤ 3.

Ответ: (–∞; 3]

х2 ≤ 9,

|х| ≤ 3,

\[\begin{cases} x\geq -3,\\ x\leq +3. \end{cases}\]

Ответ: [–3; 3]

х2 – 9 ≥ 0

х2 ≥ 9,

х ≥ 3.

Ответ: [3; +∞).

 Комментарий. Необходимо помнить, что, вообще говоря, нельзя извлекать корень из обеих частей неравенства.

х2 ≥ 9,

|х| ≥ 3,

\[\left[\begin{matrix} x\geq +3,\\ x\leq -3. \end{matrix} \right.\]

Ответ: (–∞; –3]∪[3; +∞)

 

Ошибки в дробно-рациональных неравенствах 

Нередко ошибки появляются при сведении неравенств к системе неравенств, совокупности неравенств или совокупности систем неравенств.

K Упражнение. Решить неравенство  \(\large \frac{x+6}{x}>0.\)

L Неправильное решение. 

\(\begin{cases} x+6>0,\\ x>0; \end{cases}\;\;\; \begin{cases} x>-6,\\ x>0; \end{cases}\;\;\; x>0.\)

Ответ: (0; +∞).

Комментарий. Дробь может быть положительной в двух случаях: когда числитель и знаменатель одновременно положительны, и когда числитель и знаменатель отрицательны.

J Правильное решение.

\(\left[\begin{matrix} \begin{cases}  x + 6 > 0, \\  x > 0, \end{cases}\\ \begin{cases}  x + 6 < 0,\\  x < 0; \end{cases} \end{matrix} \right.\;\;\;\;\left[\begin{matrix} \begin{cases}  x > - 6,\\  x > 0, \end{cases}\\ \begin{cases}  x < - 6,\\  x < 0; \end{cases} \end{matrix} \right.\;\;\;\;\left[\begin{matrix}  x > 0,\;\;\\  x < -6.\end{matrix} \right.\)

Ответ: (–∞; –6)∪(0; +∞).

Часто учащиеся допускают ошибки при умножении неравенства на знаменатель, который не имеет определенного знака при любых значениях переменной.

K Упражнение 1. Решить неравенство  \(\large \frac{2x+3}{x-1}>1.\)

L Неправильное решение. 

2x + 3 > x – 1;

x > – 4.

Ответ: (–4; +∞).

Комментарий. Нельзя умножать обе части неравенства на знаменатель, который содержит неизвестное, если заранее не известен его знак. Если же вы все-таки не можете обойтись без умножения, то нужно рассматривать два варианта:

х –1 > 0  или  х – 1 < 0.

J Правильное решение.

Рассмотрим один из возможных способов решения данного неравенства:

\(\left[\begin{matrix} \begin{cases} 2 x + 3 > x - 1, \\ x - 1 > 0, \end{cases}\\ \begin{cases} 2 x + 3 < x - 1, \\ x - 1 < 0; \end{cases} \end{matrix} \right.\;\;\;\;\left[\begin{matrix} \begin{cases} x > - 4,\\ x  > 1, \end{cases}\\ \begin{cases} x < -4, \\ x < 1; \end{cases} \end{matrix} \right.\;\;\;\;\left[\begin{matrix} x > 1,\;\;\\ x < -4.\end{matrix} \right.\)

Ответ: (–∞; –4)∪(1; +∞)

 

K Упражнение 2. Решить неравенство  \(\large \frac{x^2+81}{4-x^2}>0.\)

L Неправильное решение.

х2 + 81 > 0  при  х ≠ ±2.

Ответ: (–∞; –2)∪(–2; 2)∪(2; +∞).

J Правильное решение.

Так как дробь больше нуля, и числитель принимает положительные значения для любого допустимого значения х, то

4 –х2 > 0,

х2 < 4,

–2 < x < 2.

Ответ: (–2; 2).

 

K Упражнение 3. Решить неравенство  1/x  ≥  2.

L Неправильное решение. 

2x ≤ 1;

x1/2.

Ответ: (–∞; 1/2].

J Правильное решение.

Так как обе части неравенства представлены стандартными функциями, то легко использовать графические метод решения неравенства:

Графическое решение уравнений и неравенств. Ошибки в неравенствах

Очевидно, что значения функции  у = 1/x  достигают 2 и более при  х ∈ (0; 1/2].

Ответ: (0; 1/2].

Отметим, что в неравенствах, содержащих переменную в знаменателе, нельзя избавляться от знаменателя даже в том случае, если выписана область допустимых значений. Исключение могут составлять только особые виды неравенств, в которых знаменатель положителен для любых значений переменной. Как, например, \(\large \frac{x^2-81}{4+x^2}>0\), которое, очевидно, равносильно неравенству  х2 – 81 > 0 полученному из первого умножением на положительное число  4 + х2.  

 

Ошибки при использовании метода интервалов 

Рассмотрим типичные ошибки, возникающие при решении неравенств с применением метода интервалов.

K Упражнение 1. Решить неравенство  х (х – 6) (х + 1) ≥ 0.

L Неправильное решение.

Метод интервалов. х ∈ (–∞; –1]∪[6; +∞)

Ответ: х ∈ (–∞; –1]∪[6; +∞).

Комментарий. В данном решении не учтено, что сравнивается с нулем произведение трех множителей, а не двух. Таким образом, получаются не три интервала, а четыре.

J Правильное решение.

Метод интервалов. х ∈ [–1; 0]∪[6; +∞)

 Ответ: х ∈ [–1; 0]∪[6; +∞).

K Упражнение 2. Решить неравенство  (х– 5) (х + 3) (2 – х) ≥ 0.

L Неправильное решение. 

Метод интервалов: х ∈ [–3; 2]∪[5; +∞)

Ответ: х ∈ [–3; 2]∪[5; +∞).

Комментарий. В данном примере знаки в интервалах проставлены неверно. Часто учащиеся не задумываясь проставляют знаки, чередуя их справа налево, начиная со знака +.

J Правильное решение.

Числовая ось с проставленными знаками на промежутках должна выглядеть в данном случае следующим образом:

Метод интервалов: х ∈ (–∞; –3]∪[2; 5]

Ответ: х ∈ (–∞; –3]∪[2; 5].

K Упражнение 3. Решить неравенство

(х – 8) (х + 7) ≥ 0.
х + 2

L Неправильное решение. 

Метод интервалов: х ∈ [–7; –2]∪[8; +∞)

Ответ: х ∈ [–7; –2]∪[8; +∞).

Комментарий. В дробно-рациональных неравенствах нули знаменателя на числовую ось наносятся пустыми(выколотыми)точками, и это не зависит от строгости неравенства.

J Правильное решение.

Метод интервалов: х ∈ [–7; –2)∪[8; +∞)

Ответ: х ∈ [–7; –2)∪[8; +∞).

K Упражнение 4. Решить неравенство  (х – 5) (х + 3)2 ≤ 0.

L Неправильное решение. 

Метод интервалов:  х ∈ [–3; 5]

Ответ: х ∈ [–3; 5].

Комментарий. В данном упражнении знаки на интервалах проставлены неверно, так как при переходе через корень четной кратности знак не меняется.

J Правильное решение.

Метод интервалов: х ∈ (–∞; 5]

Ответ: х ∈ (–∞; 5].

K Упражнение 5. Решить неравенство  (х – 1) (х – 10)2 > 0.

L Неправильное решение. 

Метод интервалов: х ∈ (1; 10)∪(10; +∞)

Ответ: х ∈ (1; +∞).

Комментарий. При записи ответа к данному неравенству не учтено то, что в точке х = 10 левая часть неравенства обращается в ноль, что не соответствует знаку данного неравенства.

J Правильный ответ: х ∈ (1; 10)∪(10; +∞).

K Упражнение 6. Решить неравенство  (х – 5)2 (х + 3) ≤ 0.

L Неправильное решение. 

метод интервалов: х ∈ (–∞; –3]

Ответ: х ∈ (–∞; –3].

Комментарий. При решении данного неравенства потеряно одно решение. При х = 5 левая часть неравенства обращается в ноль, что тоже удовлетворяет данному неравенству.

J Правильный ответ: х ∈ (–∞; –3]∪{5}.

 

Ошибки в иррациональных неравенствах

Самый распространенный вид ошибок при решении иррациональных неравенств связан с тем, что учащимися не учитывается область допустимых значений неизвестного для корня четной степени.

K Упражнение. Решить неравенство  x – 5 < 2.

L Неправильное решение.

x – 5 < 4;

x < 9.

Ответ: х ∈ (–∞; 9).

Комментарий. Неравенство имеет смысл лишь при  x – 5 ≥ 0.

J Правильное решение.

\(\begin{cases} x - 5 < 4,\\ x - 5 \geq 0; \end{cases}\;\;\;\; \begin{cases} x < 9,\\ x \geq  5; \end{cases}\;\;\;\; 5 \leq  x < 9.\)

Ответ: х ∈ [5; 9).

Нередко учащиеся не учитывают ограничения, которые накладываются на выражения, стоящие вне знака корня четной степени и содержащие неизвестную величину.

K Упражнение 1. Решить неравенство  4x + 21x + 4.

L Неправильное решение. 

\(\begin{cases} 4x+21\leq (x+4)^2,\\ 4x+21\geq 0; \end{cases}\;\; \begin{cases} 4x+21 \leq x^2+8x+16,\\ 4x\geq -21; \end{cases}\;\; \begin{cases} x^2+4x-5\geq 0,\\ x\geq -5,25; \end{cases}\;\; \begin{cases} (x-1)(x+5)\geq 0,\\ x\geq -5,25. \end{cases}\)

х ∈ [–5,25; –5]∪[1; +∞)

Ответ: х ∈ [–5,25; –5]∪[1; +∞).

Комментарий. Легко убедиться, что значения х ∈ (–∞; –4) не удовлетворяют данному неравенству.

J Правильное решение.

\(\begin{cases} 4x+21\leq (x+4)^2,\\ 4x+21\geq 0,\\ x+4\geq 0; \end{cases}\;\; \begin{cases} 4x+21 \leq x^2+8x+16,\\ 4x\geq -21,\\ x\geq -4; \end{cases}\;\; \begin{cases} x^2+4x-5\geq 0,\\ x\geq -5,25,\\ x\geq -4; \end{cases}\;\; \begin{cases} (x-1)(x+5)\geq 0,\\ x\geq -5,25,\\ x\geq -4. \end{cases}\)

 х ∈ [1; +∞)

Ответ: х ∈ [1; +∞)

 

K Упражнение 2. Решить неравенство  x + 26x – 4.

L Неправильное решение. 

\(\begin{cases} x+26\geq x^2-8x+16,\\ x+26\geq 0,\\ x-4\geq 0; \end{cases}\;\;\; \begin{cases} x^2-9x-10\leq 0,\\ x\geq -26,\\ x\geq 4; \end{cases}\;\;\; \begin{cases} (x+1)(x-10)\leq 0,\\ x\geq -26,\\ x\geq 4. \end{cases}\)

х ∈ [4; 10]

Ответ: х ∈ [4; 10].

Комментарий. Не рассмотрен случай, когда  x – 4 < 0.

J Правильное решение.

\(\left[\begin{matrix}\begin{cases} x+26\geq x^2-8x+16,\\ x+26\geq 0,\\ x-4\geq 0; \end{cases} \\ \begin{cases} x+26\geq 0,\\ x-4 < 0;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \end{cases} \end{matrix}\right.\;\;\;\; \left[\begin{matrix}\begin{cases} x^2-9x-10\leq 0,\\ x\geq -26,\\ x\geq 4; \end{cases} \\ \begin{cases} x\geq -26,\\ x < 4;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \end{cases} \end{matrix}\right.\;\;\; \left[\begin{matrix}\begin{cases} (x+1)(x-10)\leq 0,\\ x\geq -26,\\ x\geq 4; \end{cases} \\ \begin{cases} x\geq -26,\\ x < 4.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \end{cases} \end{matrix}\right.\;\;\;\)

Решением первой системы является промежуток [4; 10], решением второй – промежуток [–26; 4). Таким образом, решением совокупности систем является объединение этих промежутков.

Ответ: х ∈ [–26; 10]

 

Ошибки в показательных и логарифмических неравенствах

При решении показательных и логарифмических неравенств возникновение ошибок, как правило, вызвано тем, что учащиеся неверно применяют свойства показательной и логарифмической функции. 

Например, не учитывают, что при положительном, меньшем единицы основании, и показательная, и логарифмическая функции являются убывающими.

K Упражнение. Решить неравенство  0,8 х  ≥  0,8 1/3.

L Неправильный ответ: х ≥ – 1/3.

Комментарий. Так как  0 < 0,8 < 1,  то при переходе от неравенства степеней с одинаковыми основаниями к неравенству показателей необходимо было поменять знак основания.

J Правильный ответ: х ≤ – 1/3.

Пренебрежение областью допустимых значений неизвестного – еще одна распространенная причина ошибок при решении показательных и, особенно, логарифмических неравенств.

K Упражнение. Решить неравенство  log4 (x2 + 3x) ≤ 1.

L Неправильное решение. 

x2 + 3x ≤ 4;

x2 + 3x – 4 ≤ 0;

(x – 1) (x + 4) ≤ 0;

х ∈ [–4; 1]. 

Ответ: [–4; 1].

J Правильное решение.

\(\begin{cases} x^2+3x\leq 4, \\ x^2+3x > 0; \end{cases}\;\;\;\; \begin{cases} (x-1)(x+4)\leq 0, \\ x(x+3) > 0. \end{cases}\)

 х ∈ [–4; –3)∪(0; 1]

Ответ:  х ∈ [–4; –3)∪(0; 1].

Особые затруднения у учащихся вызывают неравенства в которых в основании показательной или логарифмической функции находится переменная. Следует помнить, что при решении таких неравенств нужно рассматривать несколько случаев.

K Упражнение 1. Решить неравенство  log2х (x2 – 5x + 6) ≤ 1.

L Неправильное решение. 

\(\begin{cases} x > 0, \\ x^2-5x+6 > 0, \\ x^2-5x+6 \leq 2x; \end{cases}\;\;\;\; \begin{cases} x > 0, \\ x^2-5x+6 > 0, \\ x^2-7x+6 \leq 0; \end{cases}\;\;\;\; \begin{cases} x > 0, \\ (x-2)(x-3) > 0, \\ (x-1)(x-6) \leq 0. \end{cases}\;\;\;\;\)

х ∈ [1; 2)∪(3; 6]

Ответ: х ∈ [1; 2)∪(3; 6].

Комментарий. Ошибка первая: учтены не все ограничения для значений переменной х, содержащейся в основании логарифма. Не только х> 0, но и х ≠ 0,5.

Ошибка вторая: так как основание логарифма содержит неизвестный х, необходимо отдельно рассматривать два случая:  0 < 2х < 1  и  2x > 1.

J Правильное решение.

\(\left[\begin{matrix} \begin{cases} 0 < 2x < 1, \\ x^2-5x+6 > 0,\\ x^2-5x+6 \geq 2x; \end{cases}\\ \begin{cases} 2x > 1, \\ x^2-5x+6 > 0,\\ x^2-5x+6 \leq 2x; \end{cases} \end{matrix} \right.\;\;\;\; \left[\begin{matrix} \begin{cases} 0 < x < 0,5, \\ x^2-5x+6 > 0,\\ x^2-7x+6 \geq 0; \end{cases}\\ \begin{cases} x > 0,5, \\ x^2-5x+6 > 0,\\ x^2-7x+6 \leq 0; \end{cases} \end{matrix} \right.\;\;\;\; \left[\begin{matrix} \begin{cases} 0 < x < 0,5, \\ (x-2)(x-3) > 0,\\ (x-1)(x-6) \geq 0; \end{cases}\\ \begin{cases} x > 0,5, \\ (x-2)(x-3) > 0,\\ (x-1)(x-6) \leq 0. \end{cases} \end{matrix} \right.\;\;\;\;\)

х ∈ (0; 0,5)∪[1; 2)∪(3; 6]

В первом случае решением системы является промежуток (0; 0,5), а во втором – объединение промежутков [1; 2)∪(3; 6]
Таким образом, после объединения ответов получим 
(0; 0,5)∪[1; 2)∪(3; 6].

Ответ: х ∈ (0; 0,5)∪[1; 2)∪(3; 6].

 

K Упражнение 2. Решить неравенство  х 3х + 1  >  х 4.

L Неправильное решение. 

\(\begin{cases} x > 0, \\ 3x+1 > 4; \end{cases}\;\;\;\; \begin{cases} x > 0, \\ x > 1; \end{cases}\;\;\;\; x > 1.\)

Ответ: х ∈ (1; +∞).

J Правильное решение.

\(\left[\begin{matrix} \begin{cases} 0 < x < 1, \\ 3x+1 < 4; \end{cases}\\ \begin{cases} x > 1, \\ 3x+1 > 4; \end{cases} \end{matrix} \right.\;\;\;\; \left[\begin{matrix} \begin{cases} 0 < x < 1, \\ x < 1; \end{cases}\\ \begin{cases} x > 1, \\ x > 1; \;\;\;\;\;\; \end{cases} \end{matrix} \right.\;\;\;\; \left[\begin{matrix} 0 < x < 1,\\ x > 1.\;\;\;\;\;\; \end{matrix} \right.\)

Ответ: х ∈ (0; 1)∪(1; +∞).

При решении неравенств методом замены переменной учащиеся достаточно часто путают, знак совокупности и знак системы, то есть не понимают, что в первом случае решением неравенства является объединение нескольких множеств, а во втором случае – их пересечение.

K Упражнение 1. Решить неравенство  lg2 x + lg x – 2 ≥ 0.

L Неправильное решение. 

Пусть lg x = t, тогда 

2 + t – 2 ≥ 0;

(t – 1) (t + 2) ≥ 0;

\(\begin{cases} t \geq 1, \\ t \leq -2; \end{cases}\;\;\;\; \begin{cases} \lg x \geq 1, \\ \lg x \leq -2; \end{cases}\;\;\;\; \begin{cases} x \geq 10, \\ x \leq 0,01. \end{cases}\;\;\;\;\)

Ответ: Ø.

Комментарий. Решение должно сводиться к объединению, а не к пересечению двух промежутков, то есть к решению совокупности неравенств.

J Правильное решение.

\(\left[\begin{matrix} t \geq 1,\;\;\;\\ t \leq -2; \end{matrix} \right.\;\;\;\; \left[\begin{matrix} \lg x \geq 1,\;\;\;\\ \lg x \leq -2; \end{matrix} \right.\;\;\;\; \begin{cases} \left[\begin{matrix} x \geq 10,\;\;\;\\ x \leq 0,01; \end{matrix} \right. \\ \; x > 0. \end{cases}\) 

Ответ: х ∈ (0; 0,01]∪[10; +∞)

 

K Упражнение 2. Решить неравенство  x – 3x + 2 ≤ 0.

L Неправильное решение. 

Пусть x =t; тогда

2 – 3t + 2 ≤ 0;

(t – 1) (t – 2) ≤ 0;

\(\left[\begin{matrix} t \geq 1,\\ t \leq 2; \end{matrix} \right.\;\;\;\; \left[\begin{matrix} \sqrt{x} \geq 1,\\ \sqrt{x} \leq 2; \end{matrix} \right.\;\;\;\; \left[\begin{matrix} x \geq 1,\\ x \leq 4; \end{matrix} \right.\;\;\;\; x\in (-\infty;\; +\infty).\)

Ответ: все числа.

Комментарий. Во-первых, в представленном решении не учтена область допустимых значений переменной, а во-вторых, решение должно сводиться к пересечению двух промежутков, а не к их объединению, то есть к решению системы неравенств или двойного неравенства.

J Правильное решение.

1 ≤ t ≤ 2;

1 ≤ x ≤ 2; 

1 ≤ x ≤ 4.

Ответ: [1; 4].

 

     Смотрите так же: 

Ошибки в тождественных преобразованиях

Ошибки в уравнениях

Ошибки в системах уравнений

Ошибки в упражнениях с параметрами

Ошибки в упражнениях о функциях

Ошибки в упражнениях из начал анализа

Ошибки в геометрических задачах

 

Группа Математика для школы|math4school.ru ВКонтакте

Давно собирался и вот, наконец! Примерно так выглядит история нашей группы ВКонтакте. Сомнения в необходимости её существования отброшены, и первые материалы сообщества уже выложены.

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.