Math    schooL

 

 

Ошибки в неравенствах

 

Два красных треугольника. Ошибки в неравенствах

 

Неравенства по праву считаются одним из самых трудных разделов школьной математики, и при их решении допускается наибольшее количество ошибок. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся из них.

 

Некоторые общие ошибки 

 

K 

Упражнение

L

Неправильно

J

Правильно

 Указать наименьшее целое решение неравенства:

 x > 4

 х ∈ (4; +∞), наименьшее целое число 4.

Ответ: x = 4

х ∈ (4; +∞), наименьшее целое число 5

Ответ:  x = 5.       

Решить неравенство:

х < 1

x < –1

Ответ: (–∞; –1)

x > –1

Ответ: (–1; +∞)

Сравнить a и b, если

1/a < 1/b

Ответ: если a и b положительные, то a > b если и отрицательные, то a < b 

Ответ: если · b > 0, то a > b;
если · b < 0, то a < b

Оценить х из 0,25 ≤ 1/x ≤ 2

Ответ: 4 ≥ х ≥ 0,5

 Ответ: 0,5 ≤ х ≤ 4

\[a< x< b\]

\[\left[\begin{matrix} x> a\\ x< b \end{matrix} \right.\]

\[\begin{cases} x> a\\ x< b \end{cases} \]

 

Ошибки в квадратных неравенствах

Квадратные (квадратичные) неравенства – неравенства вида

2 + bx + c > 0,  (< 0,  ≥ 0,  ≤ 0)

часто решаются разложением левой части на линейные множители, то есть

2 + bx + c = a (xx1) (xx2) > 0,

где x1 и x2 – корни квадратного трехчлена 2 + bx + c. Это возможно сделать, когда корни квадратного трехчлена являются действительными числами. Однако в некоторых случаях при решении неравенств этим способом можно легко прийти к неверному заключению.

 

K 

Решить неравенство

L

Неправильное решение

J

Правильное решение

 – х2 + 5x – 6 < 0

– (x – 2) (x – 3) < 0,

х ∈ (2; 3).

Ответ: (2; 3) 

х2 – 5x + 6 < 0,

(x – 2) (x – 3) > 0,

 х ∈ (–∞; 2)∪(3; +∞).

Ответ: (–∞; 2)∪(3; +∞)

х2 + 6+ 9 ≥ 0

(х + 3)2 ≥ 0,

х + 3 ≥ 0,

х ≥ –3.

Ответ: [–3; +∞)

Неравенство (х + 3)2 ≥ 0 выполняется для всех значений х, значит х – любое число.

 Ответ: (–∞; +∞)

 х2 – 4+ 4 > 0

Неравенство (х – 2)2 > 0 выполняется для всех значений х, значит х – любое число.

Ответ: (–∞; +∞)

При х = 2  (х – 2)2 = 0, значит,

х ≠ 2.

Ответ: (–∞; 2)∪(2; +∞)

 х2 + 10+ 25 ≤ 0

(х + 5)2 ≤ 0 – решений нет.

Ответ: Ø

Неравенство (х + 5)2 ≤ 0  выполняется при единственном значении х = –5.

Ответ: –5

 х2 + + 2 > 0

Так как D = 12 – 2·2 = –3 < 0,

то решений нет.

Ответ: Ø 

Так как старший коэффициент положительный и D < 0, то при любом значении х левая часть неравенства положительна.

Ответ: (–∞; +∞)

х2 – 9 ≤ 0

х2 ≤ 9,

х ≤ 3.

Ответ: (–∞; 3]

х2 ≤ 9,

|х| ≤ 3,

\[\begin{cases} x\geq -3,\\ x\leq +3. \end{cases}\]

Ответ: [–3; 3]

х2 – 9 ≥ 0

х2 ≥ 9,

х ≥ 3.

Ответ: [3; +∞).

 Комментарий. Необходимо помнить, что, вообще говоря, нельзя извлекать корень из обеих частей неравенства.

х2 ≥ 9,

|х| ≥ 3,

\[\left[\begin{matrix} x\geq +3,\\ x\leq -3. \end{matrix} \right.\]

Ответ: (–∞; –3]∪[3; +∞)

 

Ошибки в дробно-рациональных неравенствах 

Нередко ошибки появляются при сведении неравенств к системе неравенств, совокупности неравенств или совокупности систем неравенств.

K Упражнение. Решить неравенство  \(\large \frac{x+6}{x}>0.\)

L Неправильное решение. 

\(\begin{cases} x+6>0,\\ x>0; \end{cases}\;\;\; \begin{cases} x>-6,\\ x>0; \end{cases}\;\;\; x>0.\)

Ответ: (0; +∞).

Комментарий. Дробь может быть положительной в двух случаях: когда числитель и знаменатель одновременно положительны, и когда числитель и знаменатель отрицательны.

J Правильное решение.

\(\left[\begin{matrix} \begin{cases}  x + 6 > 0, \\  x > 0, \end{cases}\\ \begin{cases}  x + 6 < 0,\\  x < 0; \end{cases} \end{matrix} \right.\;\;\;\;\left[\begin{matrix} \begin{cases}  x > - 6,\\  x > 0, \end{cases}\\ \begin{cases}  x < - 6,\\  x < 0; \end{cases} \end{matrix} \right.\;\;\;\;\left[\begin{matrix}  x > 0,\;\;\\  x < -6.\end{matrix} \right.\)

Ответ: (–∞; –6)∪(0; +∞).

Часто учащиеся допускают ошибки при умножении неравенства на знаменатель, который не имеет определенного знака при любых значениях переменной.

K Упражнение 1. Решить неравенство  \(\large \frac{2x+3}{x-1}>1.\)

L Неправильное решение. 

2x + 3 > x – 1;

x > – 4.

Ответ: (–4; +∞).

Комментарий. Нельзя умножать обе части неравенства на знаменатель, который содержит неизвестное, если заранее не известен его знак. Если же вы все-таки не можете обойтись без умножения, то нужно рассматривать два варианта:

х –1 > 0  или  х – 1 < 0.

J Правильное решение.

Рассмотрим один из возможных способов решения данного неравенства:

\(\left[\begin{matrix} \begin{cases} 2 x + 3 > x - 1, \\ x - 1 > 0, \end{cases}\\ \begin{cases} 2 x + 3 < x - 1, \\ x - 1 < 0; \end{cases} \end{matrix} \right.\;\;\;\;\left[\begin{matrix} \begin{cases} x > - 4,\\ x  > 1, \end{cases}\\ \begin{cases} x < -4, \\ x < 1; \end{cases} \end{matrix} \right.\;\;\;\;\left[\begin{matrix} x > 1,\;\;\\ x < -4.\end{matrix} \right.\)

Ответ: (–∞; –4)∪(1; +∞)

 

K Упражнение 2. Решить неравенство  \(\large \frac{x^2+81}{4-x^2}>0.\)

L Неправильное решение.

х2 + 81 > 0  при  х ≠ ±2.

Ответ: (–∞; –2)∪(–2; 2)∪(2; +∞).

J Правильное решение.

Так как дробь больше нуля, и числитель принимает положительные значения для любого допустимого значения х, то

4 – х2 > 0,

х2 < 4,

–2 < x < 2.

Ответ: (–2; 2).

 

K Упражнение 3. Решить неравенство  1/x  ≥  2.

L Неправильное решение. 

2x ≤ 1;

x ≤ 1/2.

Ответ: (–∞; 1/2].

J Правильное решение.

Так как обе части неравенства представлены стандартными функциями, то легко использовать графические метод решения неравенства:

Графическое решение уравнений и неравенств. Ошибки в неравенствах

Очевидно, что значения функции  у1/x  достигают 2 и более при  х ∈ (0; 1/2].

Ответ: (0; 1/2].

Отметим, что в неравенствах, содержащих переменную в знаменателе, нельзя избавляться от знаменателя даже в том случае, если выписана область допустимых значений. Исключение могут составлять только особые виды неравенств, в которых знаменатель положителен для любых значений переменной. Как, например, \(\large \frac{x^2-81}{4+x^2}>0\), которое, очевидно, равносильно неравенству  х2 – 81 > 0 полученному из первого умножением на положительное число  4 + х2.  

 

Ошибки при использовании метода интервалов 

Рассмотрим типичные ошибки, возникающие при решении неравенств с применением метода интервалов.

K Упражнение 1. Решить неравенство  х (х – 6) (х – 1) ≥ 0.

L Неправильное решение.

Метод интервалов. х ∈ (–∞; –1]∪[6; +∞)

Ответ: х ∈ (–∞; –1]∪[6; +∞).

Комментарий. В данном решении не учтено, что сравнивается с нулем произведение трех множителей, а не двух. Таким образом, получаются не три интервала, а четыре.

J Правильное решение.

Метод интервалов. х ∈ [–1; 0]∪[6; +∞)

 Ответ: х ∈ [–1; 0]∪[6; +∞).

K Упражнение 2. Решить неравенство  (х – 5) (х + 3) (2 – х) ≥ 0.

L Неправильное решение. 

Метод интервалов: х ∈ [–3; 2]∪[5; +∞)

Ответ: х ∈ [–3; 2]∪[5; +∞).

Комментарий. В данном примере знаки в интервалах проставлены неверно. Часто учащиеся не задумываясь проставляют знаки, чередуя их справа налево, начиная со знака +.

J Правильное решение.

Числовая ось с проставленными знаками на промежутках должна выглядеть в данном случае следующим образом:

Метод интервалов: х ∈ (–∞; –3]∪[2; 5]

Ответ: х ∈ (–∞; –3]∪[2; 5].

K Упражнение 3. Решить неравенство

(х – 8) (х + 7)  ≥ 0.
х + 2

L Неправильное решение. 

Метод интервалов: х ∈ [–7; –2]∪[8; +∞)

Ответ: х ∈ [–7; –2]∪[8; +∞).

Комментарий. В дробно-рациональных неравенствах нули знаменателя на числовую ось наносятся пустыми (выколотыми) точками, и это не зависит от строгости неравенства.

J Правильное решение.

Метод интервалов: х ∈ [–7; –2)∪[8; +∞)

Ответ: х ∈ [–7; –2)∪[8; +∞).

K Упражнение 4. Решить неравенство  (х – 5) (х + 3)2 ≤ 0.

L Неправильное решение. 

Метод интервалов:  х ∈ [–3; 5]

Ответ: х ∈ [–3; 5].

Комментарий. В данном упражнении знаки на интервалах проставлены неверно, так как при переходе через корень четной кратности знак не меняется.

J Правильное решение.

Метод интервалов: х ∈ (–∞; 5]

Ответ: х ∈ (–∞; 5].

K Упражнение 5. Решить неравенство  (х – 1) (х – 10)2 > 0.

L Неправильное решение. 

Метод интервалов: х ∈ (1; 10)∪(10; +∞)

Ответ: х ∈ (1; +∞).

Комментарий. При записи ответа к данному неравенству не учтено то, что в точке х = 10 левая часть неравенства обращается в ноль, что не соответствует знаку данного неравенства.

J Правильный ответ: х ∈ (1; 10)∪(10; +∞).

K Упражнение 6. Решить неравенство  (х – 5)2 (х + 3) ≤ 0.

L Неправильное решение. 

метод интервалов: х ∈ (–∞; –3]

Ответ: х ∈ (–∞; –3].

Комментарий. При решении данного неравенства потеряно одно решение. При х = 5 левая часть неравенства обращается в ноль, что тоже удовлетворяет данному неравенству.

J Правильный ответ: х ∈ (–∞; –3]∪{5}.

 

Ошибки в иррациональных неравенствах

Самый распространенный вид ошибок при решении иррациональных неравенств связан с тем, что учащимися не учитывается область допустимых значений неизвестного для корня четной степени.

K Упражнение. Решить неравенство  x – 5 < 2.

L Неправильное решение.

x – 5 < 4;

x < 9.

Ответ: х ∈ (–∞; 9).

Комментарий. Неравенство имеет смысл лишь при  x – 5 ≥ 0.

J Правильное решение.

\(\begin{cases} x - 5 < 4,\\ x - 5 \geq 0; \end{cases}\;\;\;\; \begin{cases} x < 9,\\ x \geq  5; \end{cases}\;\;\;\; 5 \leq  x < 9.\)

Ответ: х ∈ [5; 9).

Нередко учащиеся не учитывают ограничения, которые накладываются на выражения, стоящие вне знака корня четной степени и содержащие неизвестную величину.

K Упражнение 1. Решить неравенство  4x + 21 ≤ x + 4.

L Неправильное решение. 

\(\begin{cases} 4x+21\leq (x+4)^2,\\ 4x+21\geq 0; \end{cases}\;\; \begin{cases} 4x+21 \leq x^2+8x+16,\\ 4x\geq -21; \end{cases}\;\; \begin{cases} x^2+4x-5\geq 0,\\ x\geq -5,25; \end{cases}\;\; \begin{cases} (x-1)(x+5)\geq 0,\\ x\geq -5,25. \end{cases}\)

х ∈ [–5,25; –5]∪[1; +∞)

Ответ: х ∈ [–5,25; –5]∪[1; +∞).

Комментарий. Легко убедиться, что значения х ∈ (–∞; –4) не удовлетворяют данному неравенству.

J Правильное решение.

\(\begin{cases} 4x+21\leq (x+4)^2,\\ 4x+21\geq 0,\\ x+4\geq 0; \end{cases}\;\; \begin{cases} 4x+21 \leq x^2+8x+16,\\ 4x\geq -21,\\ x\geq -4; \end{cases}\;\; \begin{cases} x^2+4x-5\geq 0,\\ x\geq -5,25,\\ x\geq -4; \end{cases}\;\; \begin{cases} (x-1)(x+5)\geq 0,\\ x\geq -5,25,\\ x\geq -4. \end{cases}\)

 х ∈ [1; +∞)

Ответ: х ∈ [1; +∞)

 

K Упражнение 2. Решить неравенство  x + 26 ≥ x – 4.

L Неправильное решение. 

\(\begin{cases} x+26\geq x^2-8x+16,\\ x+26\geq 0,\\ x-4\geq 0; \end{cases}\;\;\; \begin{cases} x^2-9x-10\leq 0,\\ x\geq -26,\\ x\geq 4; \end{cases}\;\;\; \begin{cases} (x+1)(x-10)\leq 0,\\ x\geq -26,\\ x\geq 4. \end{cases}\)

х ∈ [4; 10]

Ответ: х ∈ [4; 10].

Комментарий. Не рассмотрен случай, когда  x – 4 < 0.

J Правильное решение.

\(\left[\begin{matrix}\begin{cases} x+26\geq x^2-8x+16,\\ x+26\geq 0,\\ x-4\geq 0; \end{cases} \\ \begin{cases} x+26\geq 0,\\ x-4 < 0;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \end{cases} \end{matrix}\right.\;\;\;\; \left[\begin{matrix}\begin{cases} x^2-9x-10\leq 0,\\ x\geq -26,\\ x\geq 4; \end{cases} \\ \begin{cases} x\geq -26,\\ x < 4;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \end{cases} \end{matrix}\right.\;\;\; \left[\begin{matrix}\begin{cases} (x+1)(x-10)\leq 0,\\ x\geq -26,\\ x\geq 4; \end{cases} \\ \begin{cases} x\geq -26,\\ x < 4.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \end{cases} \end{matrix}\right.\;\;\;\)

Решением первой системы является промежуток [4; 10], решением второй – промежуток [–26; 4). Таким образом, решением совокупности систем является объединение этих промежутков.

Ответ: х ∈ [–26; 10]

 

Ошибки в показательных и логарифмических неравенствах

При решении показательных и логарифмических неравенств возникновение ошибок, как правило, вызвано тем, что учащиеся неверно применяют свойства показательной и логарифмической функции. 

Например, не учитывают, что при положительном, меньшем единицы основании, и показательная, и логарифмическая функции являются убывающими.

K Упражнение. Решить неравенство  0,8 х  ≥  0,8 – 1/3.

L Неправильный ответ: х ≥ – 1/3.

Комментарий. Так как  0 < 0,8 < 1,  то при переходе от неравенства степеней с одинаковыми основаниями к неравенству показателей необходимо было поменять знак основания.

J Правильный ответ: х ≤ – 1/3.

Пренебрежение областью допустимых значений неизвестного – еще одна распространенная причина ошибок при решении показательных и, особенно, логарифмических неравенств.

K Упражнение. Решить неравенство  log4 (x2 + 3x) ≤ 1.

L Неправильное решение. 

x2 + 3x ≤ 4;

x2 + 3x – 4 ≤ 0;

(x – 1) (x + 4) ≤ 0;

х ∈ [–4; 1]. 

Ответ: [–4; 1].

J Правильное решение.

\(\begin{cases} x^2+3x\leq 4, \\ x^2+3x > 0; \end{cases}\;\;\;\; \begin{cases} (x-1)(x+4)\leq 0, \\ x(x+3) > 0. \end{cases}\)

 х ∈ [–4; –3)∪(0; 1]

Ответ:  х ∈ [–4; –3)∪(0; 1].

Особые затруднения у учащихся вызывают неравенства в которых в основании показательной или логарифмической функции находится переменная. Следует помнить, что при решении таких неравенств нужно рассматривать несколько случаев.

K Упражнение 1. Решить неравенство  log2х (x2 – 5x + 6) ≤ 1.

L Неправильное решение. 

\(\begin{cases} x > 0, \\ x^2-5x+6 > 0, \\ x^2-5x+6 \leq 2x; \end{cases}\;\;\;\; \begin{cases} x > 0, \\ x^2-5x+6 > 0, \\ x^2-7x+6 \leq 0; \end{cases}\;\;\;\; \begin{cases} x > 0, \\ (x-2)(x-3) > 0, \\ (x-1)(x-6) \leq 0. \end{cases}\;\;\;\;\)

х ∈ [1; 2)∪(3; 6]

Ответ: х ∈ [1; 2)∪(3; 6].

Комментарий. Ошибка первая: учтены не все ограничения для значений переменной х, содержащейся в основании логарифма. Не только х > 0, но и х ≠ 0,5.

Ошибка вторая: так как основание логарифма содержит неизвестный х, необходимо отдельно рассматривать два случая:  0 < 2х < 1  и  2x > 1.

J Правильное решение.

\(\left[\begin{matrix} \begin{cases} 0 < 2x < 1, \\ x^2-5x+6 > 0,\\ x^2-5x+6 \geq 2x; \end{cases}\\ \begin{cases} 2x > 1, \\ x^2-5x+6 > 0,\\ x^2-5x+6 \leq 2x; \end{cases} \end{matrix} \right.\;\;\;\; \left[\begin{matrix} \begin{cases} 0 < x < 0,5, \\ x^2-5x+6 > 0,\\ x^2-7x+6 \geq 0; \end{cases}\\ \begin{cases} x > 0,5, \\ x^2-5x+6 > 0,\\ x^2-7x+6 \leq 0; \end{cases} \end{matrix} \right.\;\;\;\; \left[\begin{matrix} \begin{cases} 0 < x < 0,5, \\ (x-2)(x-3) > 0,\\ (x-1)(x-6) \geq 0; \end{cases}\\ \begin{cases} x > 0,5, \\ (x-2)(x-3) > 0,\\ (x-1)(x-6) \leq 0. \end{cases} \end{matrix} \right.\;\;\;\;\)

х ∈ (0; 0,5)∪[1; 2)∪(3; 6]

В первом случае решением системы является промежуток (0; 0,5), а во втором – объединение промежутков [1; 2)∪(3; 6]
Таким образом, после объединения ответов получим 
(0; 0,5)∪[1; 2)∪(3; 6].

Ответ: х ∈ (0; 0,5)∪[1; 2)∪(3; 6].

 

K Упражнение 2. Решить неравенство  х 3х + 1  >  х 4.

L Неправильное решение. 

\(\begin{cases} x > 0, \\ 3x+1 > 4; \end{cases}\;\;\;\; \begin{cases} x > 0, \\ x > 1; \end{cases}\;\;\;\; x > 1.\)

Ответ: х ∈ (1; +∞).

J Правильное решение.

\(\left[\begin{matrix} \begin{cases} 0 < x < 1, \\ 3x+1 < 4; \end{cases}\\ \begin{cases} x > 1, \\ 3x+1 > 4; \end{cases} \end{matrix} \right.\;\;\;\; \left[\begin{matrix} \begin{cases} 0 < x < 1, \\ x < 1; \end{cases}\\ \begin{cases} x > 1, \\ x > 1; \;\;\;\;\;\; \end{cases} \end{matrix} \right.\;\;\;\; \left[\begin{matrix} 0 < x < 1,\\ x > 1.\;\;\;\;\;\; \end{matrix} \right.\)

Ответ: х ∈ (0; 1)∪(1; +∞).

При решении неравенств методом замены переменной учащиеся достаточно часто путают, знак совокупности и знак системы, то есть не понимают, что в первом случае решением неравенства является объединение нескольких множеств, а во втором случае – их пересечение.

K Упражнение 1. Решить неравенство  lg2 x + lg x – 2 ≥ 0.

L Неправильное решение. 

Пусть lg x = t, тогда 

2 + t – 2 ≥ 0;

(t – 1) (t + 2) ≥ 0;

\(\begin{cases} t \geq 1, \\ t \leq -2; \end{cases}\;\;\;\; \begin{cases} \lg x \geq 1, \\ \lg x \leq -2; \end{cases}\;\;\;\; \begin{cases} x \geq 10, \\ x \leq 0,01. \end{cases}\;\;\;\;\)

Ответ: Ø.

Комментарий. Решение должно сводиться к объединению, а не к пересечению двух промежутков, то есть к решению совокупности неравенств.

J Правильное решение.

\(\left[\begin{matrix} t \geq 1,\;\;\;\\ t \leq -2; \end{matrix} \right.\;\;\;\; \left[\begin{matrix} \lg x \geq 1,\;\;\;\\ \lg x \leq -2; \end{matrix} \right.\;\;\;\; \begin{cases} \left[\begin{matrix} x \geq 10,\;\;\;\\ x \leq 0,01; \end{matrix} \right. \\ \; x > 0. \end{cases}\) 

Ответ: х ∈ (0; 0,01]∪[10; +∞)

 

K Упражнение 2. Решить неравенство  x – 3x + 2 ≤ 0.

L Неправильное решение. 

Пусть x = t; тогда

2 – 3t + 2 ≤ 0;

(t – 1) (t – 2) ≤ 0;

\(\left[\begin{matrix} t \geq 1,\\ t \leq 2; \end{matrix} \right.\;\;\;\; \left[\begin{matrix} \sqrt{x} \geq 1,\\ \sqrt{x} \leq 2; \end{matrix} \right.\;\;\;\; \left[\begin{matrix} x \geq 1,\\ x \leq 4; \end{matrix} \right.\;\;\;\; x\in (-\infty;\; +\infty).\)

Ответ: все числа.

Комментарий. Во-первых, в представленном решении не учтена область допустимых значений переменной, а во-вторых, решение должно сводиться к пересечению двух промежутков, а не к их объединению, то есть к решению системы неравенств или двойного неравенства.

J Правильное решение.

1 ≤ t ≤ 2;

1 ≤ x ≤ 2; 

1 ≤ x ≤ 4.

Ответ: [1; 4].

 

     Смотрите так же: 

Ошибки в тождественных преобразованиях

Ошибки в уравнениях

Ошибки в системах уравнений

Ошибки в упражнениях с параметрами

Ошибки в упражнениях о функциях

Ошибки в упражнениях из начал анализа

Ошибки в геометрических задачах

 

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Новый раздел на сайте math4school.ru

Закончена работа над новым разделом сайта Работа над ошибками.

Союз образовательных сайтов