Math    schooL

 

 

Охота на дружественные числа

 

Охота на дружественные числа, Морской узел, Витраж

220 и 284

Первым не допускающим двусмысленного толкования документом, содержащим упоминание о дружественных числах, является «Изложение пифагорейского учения» – трактат, написанный в III веке н. э. неким Ямвлихом из Хальциса. Пифагорейская школа получила широкую известность не только благодаря пристрастию ее членов к мистике чисел, но и благодаря тому, что они высоко ценили дружбу. Ямвлих рассказывает, как однажды Пифагор (ок. 570 – ок. 500 до н.э.) на вопрос, кого следует считать другом, якобы ответил так:

Того, кто является моим вторым я, как числа 220 и 284.

Некоторые историки не считают Ямвлиха достойным доверия. Они хотели бы располагать свидетельствами современников Пифагора. К сожалению, с такими свидетельствами дела обстоят неважно, так как пифагорейская школа наряду с числовым мистицизмом и культом дружбы славилась еще и приверженностью к таинственности. Разглашение добытых математических знаний считалось кощунством. Сохранилось, например, предание о том, как после открытия Пифагором додекаэдра один из его учеников установил, что этот многогранник можно вписать в шар, и, вопреки традициям школы, обнародовал свое открытие. За такой «богохульный» поступок он понес наказание – утонул в море. Может быть, поэтому истинный первооткрыватель дружественных чисел предпочел остаться неизвестным...

Но вернемся к числам 220 и 284. Видимо, какое-то необычайное свойство сблизило эти числа настолько, что сам Пифагор признал их парой дружественных чисел.

Вот это свойство:

220 = 1 · 22 · 5 · 11

– делится на

1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110.

При этом, если само число 220 исключается из перечня делителей, тогда остальные делители называются собственными. Сумма всех собственных делителей числа 220 равна 284:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284.

В свою очередь,

284 = 1 · 22 · 71

делится на

1, 2, 4, 71 и 142

и сумма его собственных делителей равна 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

Значит, 284 – это как бы «второе я» числа 220, а 220 – как бы «второе я» числа 284, так как сумма собственных делителей одного числа равна второму числу и, наоборот, сумма собственных делителей второго числа равна первому. Красивый критерий дружественности пары чисел, не правда ли?

В средние века считалось, что талисманы с числами 220 и 284 способствуют укреплению любви.

Возможно, что именно Пифагор и был первооткрывателем этой пары дружественных чисел. Возможно, эта заслуга принадлежит его последователям. В любом случае, 220 и 284 – первая, наименьшая из возможных и единственно известная (если не учитывать совершенные числа – дружественные, так сказать, самим себе) на протяжении более чем 15 последующих веков пара дружественных чисел.

 

Арабская атака

Указать какой-нибудь общий способ получения дружественных чисел (что для совершенных чисел удалось сделать Евклиду) дающий эту пару и другие, желательно в бесконечном количестве – задача, представляющая значительные трудности и в наши дни. Правда, один способ такого рода указал еще в IX веке, примерно в 850 году, арабский математик Абу-Хасан Сабит ибн Курра ибн Марван аль-Харрани (836–901). Сабит был врачом и астрономом и в то же время одним из самых выдающихся мусульманских математиков и механиков. Последнюю часть жизни он жил в Багдаде, где был доверенным лицом и советником халифа аль-Мутадида. Найденный Сабитом способ получения дружественных чисел звучит на современном языке так:

Если для натурального числа n > 1  все три числа:

p = 3 · 2n – 1 – 1,

q = 3 · 2n – 1,

r = 9 · 22n – 1 – 1,

являются простыми, то числа  2n · pq  и  2n · r  образуют пару дружественных чисел.

Эта формула даёт пары

220 и 284,  17 296 и 18 416,  9 363 584 и 9 437 056

соответственно для n = 2, 4, 7, но больше никаких пар дружественных чисел для n < 20000 не существует. Кроме того, многие дружественные числа, например 6 232 и 6 368, не могут быть получены по этой формуле.

Сабит получил лишь уже известную пифагорову пару дружественных чисел. Использовал ли он свою правило для отыскания дружественных чисел при n > 2, неизвестно.

Вторую пару – не по величине, а по календарному времени – дружественных чисел:

17 296   и   18 416

– открыл марокканский ученый ибн аль-Банна (1256–1321), около 1300 года. Уже в ХХ веке в одном из трактатов этого арабского ученого были обнаружены следующие строки:

Числа 17 296 и 18 416 являются дружественными; одно из них избыточно, другое недостаточно. Аллах всеведущ.

С течением времени формулы, предложенные Сабитом, были забыты, а его книгу открыли заново лишь в XIX веке. Впрочем, многие античные и арабские ученые, а также ученые средневековья посвящали в своих трактатах одну из глав дружественным числам. Однако большей частью в этих трактатах было мало новых сведений и много ошибок. Кроме того, современного читателя несколько удивит то поразительное единодушие, с которым авторы этих сочинений настаивают на возможности практического использования дружественных чисел. Например, ибн Хальдун прилагает к своему трактату руководство по изготовлению талисмана дружбы, а мадридский ученый Маслама аль-Маджрити (ум. в 1007 г.) приводит рецепт, позволяющий добиться взаимности в любви:

надо записать на чём-либо числа 220 и 284, меньшее дать съесть предмету страсти, а большее съесть самому.

Ученый добавляет, что действенность этого способа он проверил на себе.

 

Выход европейцев

Независимо от ибн аль-Банна, спустя более чем 300 лет, в 1636 году, эту же пару открыл Пьер Ферма (1601–1665). Вскоре появилась третья «добыча», третья пара:

9 363 584   и   9 437 056,

в результате изысканий выполненных Рене Декартом (1596–1650) в 1638 году.

О датах и обстоятельствах этих двух открытий имеются самые точные сведения. Хотя и в то время проблема обмена новыми знаниями еще не была решена – издание книг занимало длительное время, а математических журналов не существовало, – тем не менее, дело обстояло значительно лучше, чем во времена Пифагора. Ученые письменно сообщали о своих открытиях французскому математику, физику, философу и богослову Марену Мерсенну (1588–1648), который на протяжении первой половины XVII века был по существу координатором научной жизни Европы, ведя активную переписку практически со всеми видными учёными того времени.  Такое извещение было равноценно письму, отправляемому в настоящее время в редакцию математического журнала. Ферма и Декарт также написали Мерсенну, который в предисловии к своей ближайшей книге назвал их открытия крупными достижениями гениальных математиков.

 

Великий охотник – Леонард Эйлер

Время отмерило еще 100 лет, когда на математическом небосклоне засияла звезда гения Леонарда Эйлера (1707–1783). С присущей ему основательностью и энергией включился Эйлер в начавшуюся охоту – поиск дружественных чисел. Эйлер получил утверждение, очень похожее на правило Сабита, но более общее. Правда, с помощью своего обобщения он не смог найти новые дружественные числа, так как в то время необходимые ему таблицы простых чисел были составлены только до 100 000.

Эйлер искал дружественные числа и совершенно иного вида, чем его предшественники, в частности нечетные. Среди его «трофеев» оказались и пары нечетных дружественных чисел вида

а · p · q    и    а · r

где р, q, r – простые числа. Например:

(32 · 7 · 13) · 5 · 17    и    (32 · 7 · 13) · 107;

(34 · 5 · 11) · 29 · 89    и    (34 · 5 · 11) · 2699.

Попробуйте самостоятельно найти собственные делители каждого из этих чисел и убедиться в том, что это действительно пары дружественных чисел.

В своих мемуарах «О дружественных числах» и «О сумме делителей» Эйлер излагает пять (!) различных методов выявления дружественных чисел. С примерным терпением и восхитительной виртуозностью он выполняет вычисления и преподносит изумленным современникам, занимающимся той же проблемой примерно с таким же увлечением, но безрезультатно, обильную добычу: ровно 59 пар дружественных чисел.  И это в короткий период – с 1747 года по 1750 год!

 

Следующие 200 лет 

По словам немецкого математика Вальтера Боро, дальнейшую историю поисков дружественных чисел можно сравнить с охотой за экзотическими бабочками:

найти новый экземпляр чрезвычайно трудно, но если вооружиться правильной методикой и необходимыми познаниями и проявить ловкость и настойчивость, то иногда все же удается его поймать (если к тому же еще и повезет). Очарование такой охоты и радость при каждой удаче, очевидно, и побуждали Эйлера не довольствоваться тремя, четырьмя примерами, а искать все новые и новые числа.

Следующим математиком после Эйлера, кто пополнил коллекцию дружественных чисел, но только одной парой, был наш выдающийся соотечественник Пафнутий Львович Чебышёв (1821–1894), в 1851 году, а за ним – и тоже только одной парой, в 1866 году, – шестнадцатилетний итальянец Николо Паганини, тезка великого скрипача. Он «изловил» вторую – по величине – пару дружественных чисел:

1 184    и    1 210.

Математический мир был потрясён – эту пару, ближайшую к 220 и 284, проглядели все знаменитые математики, изучавшие дружественные числа!

Но превзойти Эйлера по количеству новых «пойманных экзотических бабочек» никому из математиков не удавалось на протяжении 200 лет, вплоть до середины ХХ века.

Первым побил рекорд Эйлера бельгиец Поль Пуле – 62 новые пары к 1948 году – причем свою монографию Пуле озаглавил так: «La chasse aux nombres» («Охота за числами»).

Следующей рекордной «добычи» достиг американец Элвин Дж. Ли – 300 пар за период с 1968 по 1972 годы. И хотя он оперировал методами Эйлера, в несколько усовершенствованной форме, но при этом пользовался помощью ЭВМ, предшественников современных компьютеров.

 

Наше время 

С наступлением эры вычислительной техники возник новый метод, о котором Эйлер не мог и помышлять, – перебирать все числа подряд, пока хватит машинного времени. Как отнеслись к этому грубому натиску конкурентов тонкие искусные ловцы, охотящиеся за числами подобно Эйлеру, Пуле и Ли? Трудно передать их чувства. Представьте себе страстного рыболова-любителя, неожиданно замечающего у ручья людей, которые просто осушают русло и затем спокойно собирают рыбу! Впрочем, при этом обнаружилось, что рыболовы удили весьма успешно и выловили почти всю рыбу, так что «браконьерам» досталась лишь довольно скромная добыча.

К настоящему времени счёт в коллекции дружественных чисел пошёл на миллионы. Из этой коллекции ровно 13 пар дружественных чисел размещаются на отрезке [1; 100 000]:

220   и   284,

1 184   и   1 210,

2 620   и   2 924,

5 020   и   5 564,

6 232   и   6 362,

10 744   и   10 856,

2 285    и   14 595,

17 296   и   18 416,

63 020   и   76 084,

66 928   и   66 992,

67 095   и   71 145,

69 615   и   87 633,

79 750   и   88 730.

Дружественные числа продолжают скрывать множество тайн. Пока неизвестно, конечно или бесконечно множество пар дружественных чисел. Может случиться так, что это никогда не станет известно. Впрочем венгерский математик Пауль Эрдёш (1913–1996) доказал, что дружественные числа имеют плотность 0, т.е. их доля среди чисел, не превосходящих х, стремится к 0 с ростом х.

На сентябрь 2007 года было известно 11 994 387 пар дружественных чисел. Все они состоят из чисел одной чётности. Существует ли чётно-нечётная пара дружественных чисел, неизвестно. Также неизвестно, существуют ли взаимно простые дружественные числа, но если такая пара дружественных чисел существует, то, согласно расчетам, их произведение должно быть больше 1067.

И, наконец, неизвестно существует ли общая формула, позволяющая описать все пары дружественных чисел.

 

Вальтер Боро приглашает на охоту

В заключение я предлагаю вам отправиться на охоту за дружественными числами, вооружившись методом, существенно отличающимся от методов Эйлера. Речь идет об одном рецепте, по которому из уже известных дружественных чисел можно изготовить новые, значительно превосходящие исходные по величине.

Хотите получить свою собственную пару дружественных чисел? Тогда следуйте методу немецкого математика Вальтера Боро (р. 1945 г.):

1) Возьмите пару дружественных чисел вида

А = а · u    и    B = a · s,

где s – простое число. Например,

А = 220 = 22 · 55    и    В = 284 = 22 · 71,

где s = 71 – простое число.

2) Проверьте, является ли число

p = u + s + 1

простым. В нашем случае p = 55 + 71 + 1 = 127 – простое.  

3) Если да и если не окажется, что а делится на р, то при n = 1, 2, 3, ... справедливо следующее правило:

если оба числа

q1 = (u + 1) · рn – 1    и    q2=(u + 1) · (s + 1) · pn – 1

– простые, то числа

B1A · pn · q1    и     B2 = a · pn · q2

– дружественные.

Итак, при n = 1 числа

q1 = (55 + 1) · 1271 – 1 = 7111 = 13 ·547   

и   

q= (55 + 1) · (71 + 1) · 1271 – 1 = 512 063 = 97 · 5 279

не являются простыми.

Но уже при n = 2 мы получаем простые q1  и  q2:

q1 = (55 + 1) · 1272 – 1 = 903 223   

и   

q2 = (55 + 1) · (71 + 1) · 1272 – 1 = 65 032 127,

а значит и дружественную пару

B1 = 220 · 1272 · 903 223    и    В2 = 22 · 1272 · 65 032 127.

 

Общительные числа

В XX веке математики обобщили понятие дружественных чисел и занялись поиском дружественных рядов или общительных чисел – замкнутых циклов из трех и более чисел. Например, в тройке чисел

1 945 330 728 960;    2 324 196 638 720;    2 615 631 953920

делители первого числа в сумме дают второе число, делители второго в сумме дают третье число, а делители третьего числа в сумме дают первое число. А вот – пятёрка общительных чисел:

12 496,   14 288,   15 472,   14 536,   14 264.

Самый длинный из известных циклов найден в 1918 году и состоит из 28 чисел:

14316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904, 366556, 274924, 275444, 243760, 376736, 381028, 285778, 152990, 122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716.

 

P.S. 

Вот и вся история, которую я хотел вам рассказать сегодня. Как из каждой истории, из нее можно извлечь мораль. Некоторым вполне хватает невинного удовольствия, доставляемого подборкой курьезов и анекдотов. Тех же, кто стремится к серьезным знаниям и размышлениям, я хотел бы познакомить с мнением Леонарда Эйлера, высказанным во введении к его работе «De numeris amicabilibus» («О дружественных числах»):

Из всех проблем, рассматриваемых в математике, нет таких, которые считались бы в настоящее время более бесплодными и бесполезными, чем проблемы, касающиеся природы чисел и их делителей. В этом отношении нынешние математики сильно отличаются от древних, придававших гораздо большее значение исследованиям такого рода... А именно, они не только считали, что отыскание истины похвально само по себе и достойно человеческого познания, но, кроме того, совершенно справедливо полагали, что при этом замечательным образом развивается изобретательность и перед человеческим разумом раскрываются новые возможности решать сложные задачи... Математика, вероятно, никогда не достигла бы такой высокой степени совершенства, если бы древние не приложили столько усилий для изучения вопросов, которыми сегодня многие пренебрегают из-за их мнимой бесплодности.

 

Источники: Б.А. Кордемский. Великие жизни в математике (Москва, «Просвещение», 1995), В. Боро, Д. Цагир, Ю. Рольфс, Х. Крафт, Е.К. Янцен. Живые числа. Пять экскурсий (Москва, «Мир», 1985), и Википедия.

 

  <<< Назад

 

     Смотрите так же:

Совершенные числа

Два условия простоты чисел

Созвездия простых чисел

Бесконечность ряда простых чисел

Задачи математических олимпиад. Простые и составные числа

 

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Новый раздел на сайте math4school.ru

Закончена работа над новым разделом сайта Работа над ошибками.

Союз образовательных сайтов