Math    schooL

 

 

Непримечательная функция

 

Капля.

 

Материал, который последует далее, — всего лишь заметка, математический штрих, повод к размышлению и, возможно, вашим будущим самостоятельным изысканиям. Мы познакомимся с некоторой функцией, на первый взгляд, вполне заурядной. Затем рассмотрим уравнение, которое без ниже следующего вступления простым назвать никак нельзя.  

Функция

(x) (x2 – x + 1)3
x2 · (x – 1)2

непримечательна с виду, а каким замечательным свойством обладает: она инвариантна относительно каждой из следующих шести подстановок:  

х u ,
x 1 ,
u
     x = 1 – u ,
     x 1 ,
1 – u
     x u – 1 ,
u
     x u . 
u – 1

Функция (x) инвариантна относительно подстановки x =(u), если ((u)) =(u)Проверим инвариантность заданной функции, например, относительно подстановки

     x u :
u – 1
F ( u ) = (( u )2 –  u  + 1)3 : (( u )2 · ( u  – 1)) =
u – 1 u – 1 u – 1 u – 1 u – 1
                   = ( u2 – u · (u – 1) + (u – 1)2 )3 u2  =  (u2 – u + 1)3 · (u – 1)4  =  (u2 – u + 1)3  = F (u).
(u – 1)2 u – 1)4 u2 · ( u – 1)6 u2 · ( u – 1)2

Инвариантность функции F (x) относительно других подстановок проверяется аналогично.

Теперь, располагая всем набором подстановок для функции F (x), нетрудно сообразить, как можно без больших усилий решить уравнение 6-й степени:

(х2 – x 1)3  =  (а2 – а 1)3 , а ≠ 0, а ≠ 1.
x2 · (x – 1)2 а2 · (а – 1)2

Очевидный корень уравнения: х = а — соответствует подстановке х = u. Остальные подстановки сразу дают нам ещё пять корней: 

1 ,  1 – а  1 ,   а ,   а – 1 .
а 1 – а а – 1 а

 

   <<< Назад

 

Группа Математика для школы|math4school.ru ВКонтакте

Давно собирался и вот, наконец! Примерно так выглядит история нашей группы ВКонтакте. Сомнения в необходимости её существования отброшены, и первые материалы сообщества уже выложены.

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Союз образовательных сайтов