Math    schooL

 

 

Непримечательная функция

 

Капля.

 

Материал, который последует далее, — всего лишь заметка, математический штрих, повод к размышлению и, возможно, вашим будущим самостоятельным изысканиям. Мы познакомимся с некоторой функцией, на первый взгляд, вполне заурядной. Затем рассмотрим уравнение, которое без ниже следующего вступления простым назвать никак нельзя.  

Функция

(x) (x2 – x + 1)3
x2 · (x – 1)2

непримечательна с виду, а каким замечательным свойством обладает: она инвариантна относительно каждой из следующих шести подстановок:  

х u ,
x 1 ,
u
     x = 1 – u ,
     x 1 ,
1 – u
     x u – 1 ,
u
     x u . 
u – 1

Функция (x) инвариантна относительно подстановки x =(u), если ((u)) =(u)Проверим инвариантность заданной функции, например, относительно подстановки

     x u :
u – 1
F ( u ) = (( u )2 –  u  + 1)3 : (( u )2 · ( u  – 1)) =
u – 1 u – 1 u – 1 u – 1 u – 1
                   = ( u2 – u · (u – 1) + (u – 1)2 )3 u2  =  (u2 – u + 1)3 · (u – 1)4  =  (u2 – u + 1)3  = F (u).
(u – 1)2 u – 1)4 u2 · ( u – 1)6 u2 · ( u – 1)2

Инвариантность функции F (x) относительно других подстановок проверяется аналогично.

Теперь, располагая всем набором подстановок для функции F (x), нетрудно сообразить, как можно без больших усилий решить уравнение 6-й степени:

(х2 – x 1)3  =  (а2 – а 1)3 , а ≠ 0, а ≠ 1.
x2 · (x – 1)2 а2 · (а – 1)2

Очевидный корень уравнения: х = а — соответствует подстановке х = u. Остальные подстановки сразу дают нам ещё пять корней: 

1 ,  1 – а  1 ,   а ,   а – 1 .
а 1 – а а – 1 а

 

   <<< Назад

 

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Новый раздел на сайте math4school.ru

Закончена работа над новым разделом сайта Работа над ошибками.

Союз образовательных сайтов