Math    schooL

 

 

Меланхолия и магический квадрат

 

Меланхолия и магический квадрат

 

На известной гравюре «Меланхолия» (1514) немецкого художника Альбрехта Дюрера (1471–1528) присутствует один замечательный математический объект.

Это квадрат, разбитый на клетки, в которые вписаны числа. Нетрудно убедиться, что они удовлетворяют сразу нескольким условиям:

  • если сложить все числа в каждой строке,
  • если сложить все числа в каждом столбце,
  • если сложить все числа в двух диагоналях,

то все эти суммы окажутся равны одному и тому же числу, у А. Дюрера – это 34. Удивительный квадрат! Такие квадраты называются магическими.

Магический квадрат с гравюры

Хотите научиться строить магические квадраты сколь угодно большого размера? Пожалуйста.

Используем метод, описанный столетием позже, в 1612 году, французским математиком Клодом Баше де Мезириаком.

Магический квадрат удобно строить на бумаге в клетку. Пусть n – нечётное число, и нужно построить квадрат n х n с числами от 1 до n2. Действуем поэтапно. 

1. Все числа от 1 до n2 записываем в клеточки по диагонали (по n чисел в ряд), чтобы образовался диагональный квадрат. 

2. Выделяем в его центре квадрат n х n. Это и есть основа (ещё не все клетки заполнены) будущего магического квадрата.

Построение магического квадрата по методу Клода Баше де Меризиака

3. Каждый находящийся вне центрального квадрата числовой «уголок» аккуратно переносим внутрь – к противоположной стороне квадрата. Числа этих «уголков» должны заполнить все пустые клетки.

Построение магического квадрата по методу Клода Баше де Меризиака

Магический квадрат построен. Теперь можно проверить, что в таком магическом квадрате n х n из первых n2 натуральных чисел сумма чисел по каждой линии (строка, столбец, диагональ) в точности равна

Сумма чисел в строках, столбцах и двух диагоналях магического квадрата с нечётным числом клеток на стороне

Магические квадраты были известны еще арабам, к которым вероятно, они перешли от индусов; затем они сделались достоянием математиков восточной части Римской империи и, наконец, появились в Западной Европе, где методами получения магических квадратов заинтересовались многие ученые. В средние века люди верили в магическую силу этих квадратов. Они использовались для изготовления талисманов, оберегающих от различных болезней.

Из всякого магического квадрата путем различных перестановок составляющих его чисел можно получить множество новых магических квадратов, обладающих теми же свойствами.

Известно, что магических квадратов 2 х 2 не существует. Магический квадрат 3 х 3 только один. Магических квадратов 4 х 4, как на картине Дюрера, составлено уже 800, а количество магических квадратов 5 х 5 близко к четверти миллиона!

Магический квадрат – древнекитайское изобретение. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы, и эти знаки известны под названием ло-шу. В XI веке о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в XVI веке магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в XV веке византийский писатель Э. Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А. Дюрера, изображенный на его знаменитой гравюре.

Кстати, два средних числа в нижнем ряду его магического квадрата указывают дату создания картины 1514 год, а 34-м равна не только сумма чисел в любой строке, столбце и диагонали, но также в каждой угловой четверти, в центральном квадрате из четырёх клеток, и клетках, стоящих по углам.

 

Источники: Энциклопедия для детей. Математика. Том 11 (Москва, "Аванта", 2001) и www.krugosvet.ru.

 

   <<< Назад

 

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Новый раздел на сайте math4school.ru

Закончена работа над новым разделом сайта Работа над ошибками.

Союз образовательных сайтов