Math    schooL

 

 

Логарифмы

 

Определение логарифма

Свойства логарифмов

Десятичный логарифм

Таблица десятичных логарифмов целых чисел от 0 до 99

Натуральный логарифм

Таблица натуральных логарифмов целых чисел от 0 до 99

Формулы перехода от десятичного к натуральному логарифму и наоборот

 

Определение логарифма

Логарифмом положительного числа b по основанию а (a > 0, a ≠ 1) называется такой показатель степени c, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

Записывают: с logb, что означает c = b. 

Из определения логарифма следует справедливость равенства: 

logb = b, (а > 0, b > 0,≠ 1),

называемого основным логарифмическим тождеством.

В записи logb число аоснование логарифма, bлогарифмируемое число.

Из определения логарифмов вытекают следующие важные равенства:

loga 1 = 0,

loga а = 1.

Первое следует из того, что a 0 = 1, а второе – из того, что a 1 = а. Вообще имеет место равенство

loga r = r.

 

Свойства логарифмов

Для положительных действительных чисел a (a ≠ 1), b, c справедливы следующие соотношения:

log(b · c) = logb + logc

log(b ⁄ c) = logb logc

logp = p · logb

logq b = 1/q · logb

logq b p = p/q · logb

logpr ps = logs

logb = logb  loga  (c 1)

logb = 1 ⁄ loga  (b ≠ 1)

logb · logc = logc

logb =logc

Замечание 1. Если а > 0, a ≠ 1, числа b и c отличны от 0 и имеют одинаковые знаки, то

log(b · c) = log|b+ log|c|

log(b ⁄ c) = loga |b| – log|c| .

Замечание 2. Если p и q – чётные числа, а > 0, a ≠ 1 и b ≠ 0, то

logp = p · loga |b|

logpr ps = logr |s|

logq b p = p/q · log|b| .

Для любых положительных, отличных от 1 чисел a и b верно:

logb > 0  тогда и только тогда, когда  a > 1  и  b > 1  или  0 < a < 1  и  0 < b < 1;

logb < 0  тогда и только тогда, когда  a > 0  и  0 < b < 1  или  0 < a < 1  и  b > 1.

 

Десятичный логарифм

Десятичным логарифмом называется логарифм, основание которого равно 10.

Обозначаются символом lg:

log10 = lg b.

Десятичные логарифмы до изобретения в 70-х годах прошлого века компактных электронных калькуляторов широко применялись для вычислений. Как и любые другие логарифмы, они позволяли многократно упростить и облегчить трудоёмкие расчёты, заменяя умножение на сложение, а деление на вычитание; аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня.

Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс для чисел от 1 до 1000, с восемью (позже – с четырнадцатью) знаками. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми.

В зарубежной литературе, а также на клавиатуре калькуляторов встречаются и другие обозначения десятичного логарифма: log, Log, Log10, причём следует иметь в виду, что первые два варианта могут относиться и к натуральному логарифму.

 

Таблица десятичных логарифмов целых чисел от 0 до 99

Десятки Единицы
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 0,30103 0,47712 0,60206 0,69897 0,77815 0,84510 0,90309 0,95424
1 1 1,04139 1,07918 1,11394 1,14613 1,17609 1,20412 1,23045 1,25527 1,27875
2 1,30103 1,32222 1,34242 1,36173 1,38021 1,39794 1,41497 1,43136 1,44716 1,46240
3 1,47712 1,49136 1,50515 1,51851 1,53148 1,54407 1,55630 1,56820 1,57978 1,59106
4 1,60206 1,61278 1,62325 1,63347 1,64345 1,65321 1,66276 1,67210 1,68124 1,69020
5 1,69897 1,70757 1,71600 1,72428 1,73239 1,74036 1,74819 1,75587 1,76343 1,77085
6 1,77815 1,78533 1,79239 1,79934 1,80618 1,81291 1,81954 1,82607 1,83251 1,83885
7 1,84510 1,85126 1,85733 1,86332 1,86923 1,87506 1,88081 1,88649 1,89209 1,89763
8 1,90309 1,90849 1,91381 1,91908 1,92428 1,92942 1,93450 1,93952 1,94448 1,94939
9 1,95424 1,95904 1,96379 1,96848 1,97313 1,97772 1,98227 1,98677 1,99123 1,99564

 

Натуральный логарифм

Натуральным логарифмом называется логарифм, основание которого равно  числу е, математической константе, являющейся иррациональным числом, к которому стремится последовательность

а= (1 + 1/n)n при n → +.

Иногда число e называют числом Эйлера или числом Непера. Значение числа е с первыми пятнадцатью цифрами после запятой следующее: 

е = 2,718281828459045... .

Натуральный логарифм обозначаются символом ln:

log= ln b.

Натуральные логарифмы являются самыми удобными при проведении различного рода операций, связанных с анализом функций.

 

Таблица натуральных логарифмов целых чисел от 0 до 99

Десятки Единицы
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 0,69315 1,09861 1,38629 1,60944 1,79176 1,94591 2,07944 2,19722
1 2,30259 2,39790 2,48491 2,56495 2,63906 2,70805 2,77259 2,83321 2,89037 2,94444
2 2,99573 3,04452 3,09104 3,13549 3,17805 3,21888 3,25810 3,29584 3,33220 3,36730
3 3,40120 3,43399 3,46574 3,49651 3,52636 3,55535 3,58352 3,61092 3,63759 3,66356
4 3,68888 3,71357 3,73767 3,76120 3,78419 3,80666 3,82864 3,85015 3,87120 3,89182
5 3,91202 3,93183 3,95124 3,97029 3,98898 4,00733 4,02535 4,04305 4,06044 4,07754
6 4,09434 4,11087 4,12713 4,14313 4,15888 4,17439 4,18965 4,20469 4,21951 4,23411
7 4,24850 4,26268 4,27667 4,29046 4,30407 4,31749 4,33073 4,34381 4,35671 4,36945
8 4,38203 4,39445 4,40672 4,41884 4,43082 4,44265 4,45435 4,46591 4,47734 4,48864
9 4,49981 4,51086 4,52179 4,5326 4,54329 4,55388 4,56435 4,57471 4,58497 4,59512

 

Формулы перехода от десятичного к натуральному логарифму и наоборот

Так как lg е = 1 / ln 10 ≈ 0,4343, то lg b ≈ 0,4343 · ln b;

так как ln 10 = 1 / lg e ≈ 2,3026, то ln b ≈ 2,3026 · lg b.

 

      Смотрите также: 

Таблицы чисел

Алгебраические тождества

Степени

Арифметический корень n-й степени

Графики элементарных функций

Построение графиков функций геометрическими методами

Тригонометрия

Таблицы значений тригонометрических функций

Треугольники

Четырёхугольники

Многоугольники

Окружность 

Площади геометрических фигур

Прямые и плоскости

Многогранники 

Тела вращения 

 

Группа Математика для школы|math4school.ru ВКонтакте

Давно собирался и вот, наконец! Примерно так выглядит история нашей группы ВКонтакте. Сомнения в необходимости её существования отброшены, и первые материалы сообщества уже выложены.

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.