Math    schooL

 

 

Александр Михайлович Ляпунов

Александр Михайлович Ляпунов

1857–1918

 

Создатель теории устойчивости движения, учения о фигурах равновесия вращающейся жидкости, методов качественной теории дифференциальных уравнений, автор центральной предельной теоремы теории вероятностей и других глубоких исследований в области механики и математической статистики.

Надпись на могильном камне А.М. Ляпунова 

 

Александр Михайлович Ляпунов (25 мая 1857 – 3 ноября 1918) – выдающийся русский математик и механик, академик Петербургской Академии наук.

Ляпунов родился в Ярославле. Его отец Михаил Васильевич Ляпунов незадолго до этого оставил должность заведующего обсерваторией Казанского университета и получил назначение в Ярославль на пост директора Демидовского лицея. В 1863 году М.В. Ляпунов вышел в отставку и поселился с семьей в Симбирской губернии в имении жены, целиком посвятив себя обучению троих сыновей, из которых Александр Михайлович был старшим. Средний сын, Сергей Михайлович, стал впоследствии известным композитором, а младший, Борис Михайлович, – крупным специалистом по славянской филологии, академиком АН СССР. В доме Ляпуновых была огромная библиотека книг на русском, немецком и французском языках по математике, астрономии, естественным наукам, философии, истории, этнографии и политической экономии. Михаил Васильевич, обладая способностью к быстрому счету, обучал этому детей. Долгие зимние вечера они просиживали за черчением географических карт, устраивали игры, состоящие в путешествиях по странам света.

После внезапной смерти отца в 1868 году обучение Александра Михайловича продолжалось в семье его дяди, Рафаила Михайловича Сеченова, брата известного физиолога Ивана Михайловича Сеченова. Александр и его двоюродная сестра (будущая жена Наталья Рафаиловна) занимались по гимназической программе. В 1870 году А.М. Ляпунов вместе с матерью и братьями переехал в Нижний Новгород, где был принят сразу в третий класс Нижегородской гимназии. В 1876 г. Александр Михайлович окончил гимназию с золотой медалью и осенью того же года поступил на естественное отделение физико-математического факультета Санкт-Петербургского университета. Там он слушал лекции профессора Д.И. Менделеева и с увлечением занимался химией, но уже через месяц перешел на математическое отделение университета, поскольку понял, что математические науки представляют для него больший интерес. В то время химия входила в число обязательных предметов для студентов первого курса, и Ляпунов продолжал посещать лекции Менделеева, однако наибольшее влияние на его становление как ученого оказали преподаватели математического отделения.

В то время Петербургская математическая школа, основанная крупнейшим ученым П.Л. Чебышевым, всемирно известным своими блестящими работами по теории чисел, теории вероятностей и анализу, была в самом расцвете. Сам Чебышев и его ученики – профессора Д.К. Бобылев, К.А. Поссе, Е.И. Золотарев, А.Н. Коркин – вели занятия на математическом отделении университета. Лекции Чебышева, а впоследствии и советы великого математика стали определяющими в выборе тематики исследований Ляпунова, а обстановка на математическом отделении как нельзя лучше способствовала развитию исключительных способностей молодого ученого к математике и механике. Ляпунов тщательно записывал лекции Чебышева, а вечером в тот же день приводил в порядок запись и переписывал ее своим замечательным каллиграфическим почерком. Обладая превосходной памятью, он воспроизводил записи лекций со всеми тонкостями попутных замечаний, которыми Чебышев умел оживлять лекции. Позже в некрологе своему великому учителю Ляпунов написал: 

П.Л. Чебышев появлялся в аудитории всегда точно в назначенное время и в тот же час приступал к продолжению выводов, начатых в предшествующую лекцию… Когда получался желаемый вывод, П.Л. Чебышев садился… на кресло, ставившееся для него всегда у первой парты, и вот тут-то и начинались те разнообразные замечания, которые придавали особенный интерес его лекциям, и которых с нетерпением ждала вся аудитория.

Лекции Чебышева отличались живым и увлекательным изложением, он всегда заботился о выяснении принципиальных сторон вопроса и возможности практического применения полученных результатов. Конспекты Ляпунова позволили потом академику А.Н. Крылову курсы лекций, прочитанных Чебышевым.

Научная деятельность А.М. Ляпунова началась с исследований по гидростатике под руководством Д.К. Бобылева, который с 1878 году заведовал, или, как тогда говорили, занимал кафедру механики. За эту работу в 1880 году студент Ляпунов получил золотую медаль. После окончания университета по предложению Бобылева он был оставлен при кафедре механики для подготовки к профессорскому званию. Помимо этого, Александр Михайлович был назначен хранителем кабинета практической механики (консервансором), что являлось как бы подготовительной ступенью к должности профессора. В 1881 году в «Журнале Физико-химического общества» Ляпунов опубликовал две первые статьи – "О равновесии тяжелых тел в тяжелых жидкостях, содержащихся в сосуде определенной формы" и "О потенциале гидростатических давлений". В этих работах были уточнены условия и приведены новые строгие доказательства ранее неточно обоснованных теорем гидростатики.

А.М. Ляпунов усиленно готовился к сдаче магистерских экзаменов. По воспоминаниям брата, Бориса Михайловича Ляпунова, который в то время снимал комнату вместе с ним, Александр Михайлович много и напряженно занимался, любил работать по ночам. Раз в неделю у хозяйки собирались друзья и родственники Ляпуновых, приходил и Иван Михайлович Сеченов, которому Александр Михайлович давал уроки по тем разделам математических наук, которые считал особенно важными для физиолога.

В 1882 году Ляпунов успешно сдал магистерские экзамены, и Чебышев предложил ему испытать силы в решении следующего вопроса: 

Известно, что при некоторой скорости эллипсоидальные формы перестают служить формами равновесия вращающейся жидкости. Не переходят ли они при этом в какие-либо новые формы равновесия, которые при малом увеличении угловой скорости мало отличались бы от эллипсоидов?

Чебышев, видимо, давно интересовался этой задачей, поскольку предлагал ее и другим ученым, например, Е.И. Золотареву, С.В. Ковалевской, но не предлагал никаких методов ее решения. Задача была очень сложной, но, тем не менее, Чебышев предложил ее начинающему 24-летнему ученому, поскольку считал, что всякий молодой ученый обязательно должен попробовать себя в решении задач, представляющих значительные теоретические трудности. Как сказал впоследствии академик В.А. Стеклов, первый ученик Ляпунова по Харьковскому университету: 

Чебышев уже тогда усматривал из ряда вон выходящие силы в молодом человеке, если рискнул возложить на его плечи такой непосильный труд.

Сам Александр Михайлович позже писал: 

Не знаю, пробовали ли решать этот вопрос Золотарев и Ковалевская. Я же сильно заинтересовался вопросом, тем более что Чебышев не дал никаких указаний для его решения, и я тотчас же принялся за работу.

Он применил метод последовательных приближений, получил уравнения для первого приближения и все необходимые результаты для оценки характера изучаемого явления по первому приближению. Но после этого необходимо было составить уравнения, определяющие последовательные приближения для произвольного порядка и, что особенно важно, доказать сходимость полученных приближений. В этом вопросе встретились трудности, которые оказались непреодолимыми, и Ляпунов отложил дальнейшее исследование задачи Чебышева. Однако в ходе своей работы он заинтересовался задачей устойчивости эллипсоидальных форм и занялся изучением этого вопроса. Результаты исследований по вопросам устойчивости и составили предмет его магистерской диссертации, озаглавленной "Об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости". Защита состоялась в Петербургском университете в январе 1885 года. Одним из оппонентов был Д.К. Бобылев. Краткое содержание работы было опубликовано в «Bulletine Astronomique», а почти через двадцать лет эта работа была переведена на французский язык Эд.Даво и, по предложению профессора Э. Коссера, напечатана в «Annales de l’Universite de Toulouse». Этот труд сразу обратил на себя внимание математиков, механиков, физиков и астрономов всего мира. После защиты диссертации Ляпунов получил степень магистра прикладной математики и весной того же 1885 года был утвержден в звании приват-доцента. Он собирался осенью приступить к чтению курса лекций по теории потенциала, но получил предложение занять кафедру механики в Харьковском университете, которая была вакантной после избрания в 1881 году В.Г. Имшенецкого членом Петербургской Академии наук. (Обязательным условием для членов Академии являлось проживание и работа в Петербурге.) В августе 1885 года А.М. Ляпунов переехал в Харьков и там начался самый плодотворный период его научной деятельности.

Харьковский университет в то время был одним из крупнейших в России и имел довольно сильный состав преподавателей. В 1863 году в связи с ростом общественного движения, был издан университетский устав, обеспечивающий автономию университетов: выборность ректора, деканов и профессоров, право Советов университета устанавливать кафедры, утверждать ученые степени и многое другое. Однако в 1884 году император Александр III утвердил новый реакционный устав, по которому университеты были полностью подчинены Министерству народного просвещения и попечителям учебных округов. Выборность университетских кадров отменялась, свобода преподавания была стеснена, централизация была доведена до нелепости: для перенесения лекции требовалось, чуть ли не разрешение Министерства. Издавались специальные инструкции с указаниями, в каком духе надо читать лекции. Необъятную власть имела наблюдавшая за всем инспекция, профессора стеснены и унижены – такой тяжелой была обстановка, в которой начал работать в Харьковском университете Ляпунов.

Вспоминает академик Бузескул: 

В те годы, когда Александр Михайлович начал свою преподавательскую деятельность в Харьковском университете, между профессорами, как и между студентами, существовало гораздо больше общения, нежели впоследствии. Чтение лекций на всех факультетах сосредоточивалось в одном старом корпусе… Харьковский университет издавна страдал от недостатка помещений. Теснота в нем была ужасающая. Бывали случаи, что в аудитории слушатели падали в обморок от тесноты и духоты… В профессорской комнате сходились представители самых разнообразных специальностей… В коридоре толпились студенты различных факультетов… Студентов в общем было немного – от 800 до 1200. С введением устава 1884 г. число поступающих на некоторых факультетах, например на историко-филологическом, сразу понизилось чуть не в два-три раза. 

Осенью А.М. Ляпунов, будучи в звании приват-доцента кафедры механики, начал чтение лекций по всем разделам механики. Вплоть до 1890 г. он один вел все преподавание по кафедре механики, включая и практические занятия со студентами. Студенты, настроенные оппозиционно к новым реакционным порядкам, узнав, что из Петербурга прибыл новый профессор механики, решили, что это новоназначенный посредственный чиновник, и были настроены к нему недружелюбно. Однако на первой же лекции случилось неожиданное. По воспоминаниям В.А. Стеклова: 

... в аудиторию вместе с уважаемым всеми студентами старым деканом профессором Леваковским вошел красавец мужчина, почти ровесник некоторым из наших товарищей, и, по уходе декана, начал дрожащим от волнения голосом читать вместо курса динамики систем курс динамики точки, который мы уже прослушали у профессора Деларю. Шел уже 4-й год моего студенчества; в Москве в течение года я слушал таких лекторов, как Давыдов, Цингер, Столетов, Орлов; два года был студентом Харьковского университета; курс механики мне уже был знаком. Но с самого начала лекции я услышал то, чего раньше не слышал и не встречал ни в одном из известных мне пособий. И все недружелюбие курса разлетелась прахом; силою своего таланта, обаянию которого в большинстве случаев неосознанно поддается молодежь, Александр Михайлович, сам не зная того, покорил в один час предвзято настроенную аудиторию. С этого же дня Александр Михайлович занял особое место в глазах студентов, к нему стали относиться с исключительно почтительным уважением. Большинство, которым не были чужими интересы науки, стало напрягать все силы, чтобы хоть немного приблизиться к той высоте, на которую влек Александр Михайлович своих слушателей. Появился особый стыд перед ним за свое незнание, большинство не решались даже начать говорить с ним только из боязни показать перед ним свое незнание.

Лекции Ляпунова отличались простотой и общностью изложения, безукоризненной строгостью изящных оригинальных доказательств Он оставался приверженцем педагогических методов своего великого учителя П.Л. Чебышева. На лекциях и на так называемых совещательных часах он стремился пробудить у студентов интерес к науке, тягу к знаниям, самостоятельность в работе. Он всегда резко возражал против любого принуждения, считая, что в творческой работе главное – это инициатива самого человека, движимого единственно жаждой познания.

Крепкий молодой человек, не намного старше многих из студентов, постоянно сосредоточенный на своих мыслях, твердым шагом шел он по коридору университета в аудиторию №8, где читал лекции по механике. По воспоминаниям Стеклова, не было случая, чтобы он пропустил занятия, даже по болезни. В перерывах и после лекций его можно было видеть в кругу коллег, ближайших по специальности, всегда обсуждающим научные темы или сидящим за математическими выкладками. Как писал акад. Бузескул, 

Все низменное было ему чуждо. Он был «не от мира сего», он постоянно витал в сфере науки. Он весь был поглощен мыслью о ее интересах, о своем любимом предмете.

В университете А.М. Ляпунов читал различные общие и специальные курсы теоретической механики, интегрирования дифференциальных уравнений, теории вероятностей. Только по механике им было прочитано шесть курсов: кинематика, динамика материальной точки, динамика систем материальных точек, теория притяжения, теория деформированных тел и гидростатика. В «Обозрении преподавания предметов и практических занятий в Харьковском университете на первое полугодие 1886-1887 уч.г.» записано, что приват-доцент Ляпунов имел семь часов в неделю: два часа лекций по кинематике точки, три часа лекций по кинематике системы точек, два часа практических занятий по динамике точки. Александр Михайлович также читал аналитическую механику в Харьковском технологическом институте (с 1887 по 1893 год). Литографические курсы прочитанных им лекций были опубликованы небольшими тиражами самими студентами. В 1982 году одним томом был выпущен полный курс лекций, прочитанных Ляпуновым в харьковский период.

Разработка курсов лекций, подготовка к занятиям отнимали много времени, т.к. Александр Михайлович относился очень ответственно к преподавательской деятельности и вносил много нового в читаемые им курсы. Многие результаты исследований по аналитической механике, ставшие теперь классическими, были впервые изложены в лекциях Ляпунова. Так, А.М. Ляпунов первым получил аналитическое выражение для реакций идеальных голономных связей как функций времени. В 1900 году, готовясь к курсу лекций по теории вероятностей, он доказал основную предельную теорему теории вероятностей, причем для значительно более общих условий, чем это было сделано ранее П.Л. Чебышевым и А.А. Марковым. Занятие теорией вероятностей было лишь эпизодом в научной деятельности Ляпунова, тем не менее, и в этой области он добился результатов фундаментального значения. Академик А.Н. Крылов впоследствии писал:

…Он излагал механику, как отрасль математики, а не физики … поэтому безукоризненная строгость доказательств ставилась им как главное требование, и в этом отношении многое принадлежит ему лично и не находится в других курсах или трактатах… Остается теперь сказать, каким образом Александр Михайлович достигал такой изумительной краткости изложения при полной ясности и строгости… Понятно, что с внутренней стороны здесь проявлялась обширность его познаний, глубина, с которой им продумывались каждое предположение, каждый вывод и доказательство, и та тщательность отделки, к которой он привык во всякой своей работе. Со стороны внешней… видно, что каждый из главнейших вопросов различных отделов механики ставился им с самого начала в самом общем виде … все отдельные случаи получались как частные из найденного общего решения или служили примерами для пояснения его. Второй особенностью изложения является отсутствие всякого рода простых промежуточных выкладок, они заменены указанием последовательности необходимых действий или преобразований и того результата, который получится.

В январе 1886 года, приехав во время каникул в Петербург, Александр Михайлович обвенчался с Натальей Рафаиловной Сеченовой и вернулся назад вместе с женой. В Харькове Ляпунов познакомился с профессором астрономии Г.В. Левицким, математиками М.А. Тихомандрицким и К.А. Андреевым. Здесь же он встретил своего бывшего учителя физики и математики в Нижегородской гимназии профессора А.П. Грузинцева, который работал приват-доцентом на кафедре физики.

В первое время научная деятельность Ляпунова, по его собственным словам, приостановилась, потому что ему приходилось составлять курсы лекций для студентов, которые он называл «Записками». Но, несмотря на напряженную педагогическую деятельность, Александр Михайлович все-таки опубликовал в 1886 и 1887 годах две заметки в «Сообщениях Харьковского математического общества»: «Некоторое обобщение формулы Лежень-Дирихле для потенциальной функции эллипсоида на внутреннюю точку» и «О теле наибольшего потенциала». В последней работе Ляпунов, используя оригинальный метод, отличный от методов вариационного исчисления, показал, что если существует тело, потенциал которого сам на себя достигает наибольшего значения, то такое тело есть шар.

Закончив работу над «Записками», Ляпунов возобновил энергичную научную деятельность. В 1888 году он публикует в «Сообщениях Харьковского математического общества» статью «О постоянных винтовых движениях твердого тела в жидкости», в которой впервые изложены основные идеи первого метода Ляпунова в теории устойчивости. Устойчивость заявляет себя как непременный элемент его научных исследований, начиная с самого первого студенческого сочинения. С 1888 года Александр Михайлович опубликовал целый ряд работ, посвященных устойчивости движения механических систем с конечным числом степеней свободы, переходя от исследования частных задач к более общим. За 9 лет с 1893 года по 1902 год. Ляпуновым было опубликовано 20 работ. Наука полностью поглощала его время и силы. Работал он изо дня в день до 4 или 5 часов ночи, иногда приходил на лекции, не спав всю ночь. Он редко позволял себе какие-то развлечения, иногда, 1-2 раза в год бывал в театре. Исключением являлись только концерты брата, композитора С.М. Ляпунова, непременно посещаемые Александром Михайловичем. 

Отчасти потому и производил он на лиц, мало его знавших, впечатление молчаливо-хмурого, замкнутого человека, что зачастую был настолько поглощен своими научными размышлениями, что смотрел – и не видел, слушал – и не слышал… В действительности же за внешней сухостью и даже суровостью в А.М.Ляпунове скрывался человек большого темперамента, с чуткой и, можно сказать, детски чистой душой. (В.А.Стеклов). 

В то время большинство преподавателей со степенью магистра, вопреки уставу 1884 года, утверждались Министром народного просвещения на должности профессоров без защиты докторской диссертации. Ляпунов, хотя и получил целый ряд фундаментальных результатов, которые, по свидетельству Стеклова, уже могли составить выдающуюся докторскую диссертацию, предъявлял к себе очень высокие требования. Он считал, что его диссертация еще не завершена, и еще четыре года работал в Харьковском университете в должности приват-доцента, получая скромный оклад в 1200 руб. в год.

Целеустремленность в решении больших принципиальных проблем – отличительная черта научного творчества Александра Михайловича. Глубокий математический талант сочетался в нем с необыкновенным совершенством по владению математическим аппаратом и изобретательностью в его применении. Сложность работ А.М. Ляпунова – в принципиальной трудности тех вопросов, которыми он занимался. 

Надо отметить еще, что читать его работы нелегко… Его работы обычно связаны с применением сложных формул, что лежит в существе рассматриваемых им вопросов. (Акад. В.И. Смирнов).

Задачи устойчивости относились к категории труднейших задач математики и интересовали практически всех крупнейших математиков, от Лагранжа до Пуанкаре. Работы Ляпунова явились основополагающими для развития теории устойчивости и принесли ему впоследствии мировую славу. Просматривая «Сообщения Харьковского математического общества», можно увидеть, как Ляпунов постепенно подходит к решению намеченной задачи. В феврале и марте 1889 года он доложил на заседании Харьковского математического общества свою работу «О характеристическом уравнении, соответствующем данной системе дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами», а в «Сообщениях Харьковского математического общества» выходит его статья «Об устойчивости движения в одном частном случае задачи о трех телах». В ноябре 1890 года он делает доклад «О некоторых системах линейных дифференциальных уравнений». В марте 1891 года выступает с докладом «Общая задача теории устойчивости движения». В декабре 1891 года – сообщение «Новое доказательство теоремы Фукса, относящейся к линейным дифференциальным уравнениям».

В 90-х годах в зарубежной литературе нередко появлялись статьи, использующие идеи Ляпунова, но не ссылающиеся на его работы. Александр Михайлович, чтобы закрепить приоритет за русской наукой, направил в 1896 году сообщение во французский журнал «Чистая и прикладная математика» (Journ. de mathem. pures et appl.). Тем не менее, и впоследствии в этом же журнале появлялись статьи, фактически использующие метод Ляпунова, но ни словом не упоминавшие его имя. С 1896 года Ляпунов начал печатать свои труды почти исключительно на французском языке, чтобы сделать их более доступными для европейских ученых. Он вел также активную научную переписку с известными французскими математиками Анри Пуанкаре и Эмилем Пикаром.

Результаты, полученные Ляпуновым по устойчивости, составили предмет его докторской диссертации «Общая задача об устойчивости движения», которая была защищена в Московском университете в 1892 году. Официальные оппоненты Н.Е. Жуковский и Б.К. Млодзеевский отметили, что его работа и по количеству материала и научному уровню равнозначна нескольким докторским диссертациям. Диссертация Ляпунова была опубликована отдельным изданием в Харькове.

В 1908 году этот фундаментальный труд был переведен на французский язык и издан Тулузским университетом. Французский перевод был воспроизведен в 1949 году в издании Принстонского университета. Интерес к этому исследованию был связан с развитием военной техники, самолетостроения, созданием космических аппаратов, что, в свою очередь, способствовало дальнейшему развитию теории устойчивости, заложенной в работах Ляпунова. В 1992 году перевод диссертации, выполненный с французского на английский, был опубликован в Лондоне издательством «Taylor and Francis». Таким образом, фундаментальные результаты, полученные Ляпуновым, намного опередили время. В 1992 году мировая научная общественность широко отмечала 100-летие теории устойчивости Ляпунова.

В январе 1893 году Александр Михайлович получил звание ординарного профессора Харьковского университета. Он продолжал чтение лекций и интенсивную научную работу, по словам брата Б.М. Ляпунова, «ежегодно выпуская по диссертации, иногда по две», внося существенные дополнения в результаты своей диссертации. К харьковскому периоду жизни А.М. Ляпунова относятся его исследования по теории потенциала и движению твердого тела в жидкости, которые тесно переплетаются с исследованиями его ученика, а в дальнейшем известного ученого, академика В.А. Стеклова. Ляпунов получил результаты, существенно дополняющие его диссертацию, открыл носящий теперь его имя случай движения твердого тела в жидкости, выполнил замечательное исследование о представлении движения Луны рядами Хилла. Он активно занимался вопросами теории потенциала. Его работы в этой области явились базой, на которой и по сегодняшний день основывается теория потенциала. Под влиянием Ляпунова среди математиков Харьковского университета появился большой интерес к вопросам математической физики, в первую очередь к основным предельным задачам для уравнения Лапласа. Ляпунов обнаружил неточности и недоделки в теории потенциала – в этом классическом разделе математической физики. В своем мемуаре «Sur certaines questions se rattachant au probleme de Dirichlet» (О некоторых вопросах, связанных с проблемой Дирихле, 1897 г.), он впервые строго определил и прояснил целый ряд основных положений теории потенциала.

С октября 1891 года Ляпунов состоял заместителем, а с 1899 по 1902 год – председателем Харьковского математического общества и редактором издания "Сообщения Харьковского математического общества". О результатах всех своих работ этого периода, посвященных, главным образом, теории потенциала и теории вероятностей, он докладывал на заседаниях Общества, привлекал к деятельности Общества своих учеников. Заседания проходили регулярно, в среднем дважды в месяц. Как профессор университета, он принимал участие в общеуниверситетских делах, работал в различных комиссиях по вопросам образования.

С 1872 года при кафедре прикладной математики университета существовал кабинет практической механики, появившийся благодаря стараниям профессора М.Ф. Ковальского. Когда заведование кабинетом перешло к Ляпунову, он активно занялся его реорганизацией – ревизией старого оборудования, заменой устаревших моделей и механизмов, благодаря чему кабинет приобрел современный вид.

На время летнего отпуска Ляпунов обычно уезжал с женой в Симбирскую губернию, но и там он продолжал научную работу. Летом к ним приезжало много родственников, вечерами собиралась молодежь. Александр Михайлович любил рассказывать о звездах, об элементарных понятиях астрономии. Он очень любил природу, сам выращивал комнатные растения и садовые деревья. В его харьковской квартире стояли выращенные им пальмы и фикусы.

В 1900 году А.М. Ляпунов был избран членом-корреспондентом Академии наук (по представлению академиков А.А. Маркова и Н.Я. Сонина), а в 1901 году – ординарным академиком по кафедре прикладной математики, остававшейся вакантной в течение семи лет после смерти П.Л. Чебышева. В 1902 году Ляпунов переезжает в Санкт-Петербург. Окончился семнадцатилетний период жизни в Харькове и работы в Харьковском университете. По словам В.А. Стеклова, Александр Михайлович с особой любовью вспоминал это время и называл его самым счастливым.

В Санкт-Петербурге Ляпунов целиком посвятил себя научной работе. Двадцать лет спустя, он снова возвращается к задаче о фигурах равновесия, предложенной ему в 1882 году Чебышевым и не решенной им тогда полностью. Ляпунов начал работу с исследования вращения однородной жидкости. В феврале 1903 года Стеклов сообщил ему о выходе книги А. Пуанкаре «Фигуры равновесия вращающейся жидкой массы», цикле лекций, прочитанных в Сорбонне в 1900 году. Ляпунов, уверенный, что Пуанкаре решил его задачу, оставил работу и занялся исследованием фигур равновесия вращающейся неоднородной жидкости. В письме Стеклову от 15 февраля 1903 года он пишет: «Как это ни досадно, а работу придется бросить, ибо …нет сомнения, что он исходил … из тех же соображений… иначе он не мог бы сделать шагу в рассматриваемом вопросе». Получив книгу Пуанкаре, Ляпунов нашел в ней только изложение давно известных результатов и понял, что в вопросе о фигурах равновесия Пуанкаре «стоит на той же точке, как и семнадцать лет назад» (из письма к Стеклову от 21 февраля 1903 года). Далее он пишет: «…недельный перерыв этой работы оказался очень полезным для дела, ибо в этот промежуток я приступил к другой работе … и заметил, что и при решении первого вопроса возможны значительные упрощения вычисления и что я шел чересчур сложным путем». В том же 1903 году Ляпунов публикует работу «Исследования по теории фигур небесных тел», где доказано существование фигур равновесия, близких к сфере в случае неоднородной жидкости, медленно вращающейся вокруг оси. Затем Ляпунов проделал гигантскую и по объему, и по научному значению работу по теории фигур равновесия, полностью решив задачу, поставленную Чебышевым. Этот труд «О фигурах равновесия, мало отличающихся от эллипсоидов, вращающейся однородной массы жидкости» был издан в четырех частях в 1906-1914 годах и занимает около 800 страниц.

Исследование Ляпуновым фигур равновесия открыло новую страницу в развитии небесной механики. Дело в том, что в 1902 году появилась статья известного английского астронома Джорджа Дарвина (сына Чарльза Дарвина) «О грушевидных фигурах равновесия вращающейся жидкой массы» (The Stability of Pear-shaped Figure of Equilibrium of a Rotating Mass of Liquid). В этой работе Дж. Дарвин показал устойчивость грушевидных форм и выдвинул космогоническую гипотезу о формировании спутников планет из вращающейся массы жидкости, основанную на устойчивости грушевидной формы. Появилась также работа Пуанкаре, где было показано существование множества форм равновесия, и излагались результаты, которые уже содержались в магистерской диссертации Ляпунова. Этот труд Пуанкаре Дарвин назвал откровением и под его влиянием предложил гипотезу об образовании двойных звезд от одной из форм грушевидных фигур. За него французский ученый был избран членом Парижской академии наук и получил золотую медаль Лондонского королевского общества астрономов. Работа была основана на анализе первого приближения, то есть на тех результатах, которые Ляпунов получил еще в 1883 году, но не счел возможным публиковать, так как считал нужным дать строгий ответ, основанный на анализе последующих приближений, что ему тогда не удалось. Теперь необходимо было показать ошибочность рассуждений Дарвина, использующего без надлежащей осторожности лишь первое приближение. Ляпунов остроумно разрешил все трудности задачи и показал, что грушевидные фигуры являются неустойчивыми и, таким образом, космогоническая гипотеза Дарвина несостоятельна. Эти результаты были опубликованы в 1905 году, после чего между Ляпуновым и Дарвином возникла полемика, длившаяся несколько лет. Пуанкаре в своих лекциях о фигурах равновесия ограничился лишь небольшим замечанием «Грушевидная фигура, быть может, устойчива… Чтобы решить вопрос, нужно было бы снова провести все вычисления, но они представляют значительные трудности». В доказательство Ляпунов публикует объемный труд, где на 784 страницах подробно излагает свои гигантские выкладки. Лишь в 1917 году известный английский физик и астроном Джеймс Джинс обнаружил ошибку в вычислениях Дж. Дарвина и показал, что теория Ляпунова верна. Вспоминая об этом, академик Стеклов писал: 

Если исследования Пуанкаре можно было назвать откровением, делающим эпоху в истории науки, то какими словами можно оценить труды А.М. Ляпунова в рассматриваемой области.

Ляпунов всегда придирчиво относился к точности решения задачи. Если задача не могла быть решена точно, то, используя приближенные методы, он всегда оценивал размеры погрешности. Здесь уместно привести высказывание Пуанкаре: 

Можно сделать много возражений, но нельзя требовать такой же строгости, как и в чистом анализе

и сравнить его со словами Ляпунова: 

Непозволительно пользоваться сомнительными рассуждениями, коль скоро мы решаем определенную задачу … которая поставлена совершенно определенно с точки зрения анализа. 

В 1908 году Ляпунов был командирован на IV Международный математический конгресс в Риме, отчет о котором он представил на заседании физико-математического отделения Академии наук. В Риме Александр Михайлович познакомился с итальянскими математиками профессорами Вольтерра, Веронезе и Бласерна. Вскоре по возвращении из Италии Ляпунов был избран членом Академии наук в Риме (Accademia die Lincei). С 1909 года он принимал участие в издании полного собрания сочинений Л. Эйлера и был редактором восемнадцатого и девятнадцатого томов.

В своей научной работе Ляпунов взялся за разработку еще более сложного и важного вопроса о фигурах равновесия неоднородной вращающейся жидкости. Он обещал опубликовать свои результаты, сообщал, что ему удалось решить задачу при более общих предположениях. В конце июня 1917 году он вместе с женой отправился в Одессу, где в то время жил его брат Б.М. Ляпунов. Наталья Рафаиловна давно страдала от туберкулеза, и врачи предписывали ей мягкий климат. Трудность поездки по охваченной революцией стране, неустроенность со временем привели к обострению болезни, жена слабела на глазах. В начале 1918 года Одесса была оккупирована, и Ляпунов оказался в тяжелом положении, отрезан от Петербурга, испытывал материальные трудности. К тому же у него развивалась катаракта, и зрение быстро ухудшалось, не давая полноценно работать.

В августе 1918 года Александр Михайлович получил приглашение физико-математического факультета Новороссийского (Одесского) университета прочесть лекции на тему, которую он сам пожелает выбрать. Ляпунов согласился прочесть курс "О форме небесных тел", в котором излагались результаты его последних работ, всего семь двухчасовых лекций, начиная с 16 сентября. Слушателями были, в основном, профессора университета. Всегда физически сильный, он, по воспоминаниям Б.М. Ляпунова, очень уставал после лекций и с трудом добирался до дома.

Состояние жены все ухудшалось. 28 октября Ляпунов прочел последнюю лекцию, а 31 октября Н.Р.Ляпунова скончалась. Для Александра Михайловича удар был слишком сильный, хотя он давно уже, конечно, понимал неизбежность такого исхода. В тот же день А.М. Ляпунов был доставлен в хирургическое отделение университетской клиники с огнестрельным ранением головы и через три дня, не приходя в сознание, скончался. В оставленной записке он завещал похоронить его в одной могиле с женой. Одесса в это время была отрезана от страны, и лишь 3 мая 1919 года Российская Академия наук в специальном заседании почтила память выдающегося ученого. Похоронен А.М. Ляпунов в Одессе. Среди его бумаг осталась вполне завершенная рукопись «О различных формах равновесия неоднородной вращающейся жидкости». Эта рукопись была издана к 200-летию Академии Наук (Sur certaines series de figures d'equilibre d'un liquide heterogene en rotation. – Л., 1925-1927).

Научные заслуги А.М. Ляпунова признаны во всем мире: он являлся почетным членом Петербургского, Харьковского и Казанского университетов, почетным членом Харьковского математического общества, иностранным членом Академии в Риме, членом-корреспондентом Парижской академии наук.

Работы А.М. Ляпунова посвящены теории устойчивости движения и равновесия механических систем, теории фигур равновесия равномерно вращающейся жидкости, математической физике, дифференциальным уравнениям и теории вероятностей. Важнейшим достижением А.М. Ляпунова является создание современной теории устойчивости движения и равновесия механических систем, определяемых конечным числом параметров.

А.М. Ляпунов получил также ряд существенных результатов в теории линейных и нелинейных дифференциальных уравнений. В частности, он установил существование периодических решений некоторого класса систем нелинейных дифференциальных уравнений и дал эффективный метод построения таких решений, а также выяснил качественную картину поведения интегральных кривых уравнений движения вблизи положения равновесия. Метод определения устойчивости системы обыкновенных дифференциальных уравнений называется методом Ляпунова.

В математической физике А.М. Ляпунов также получил ряд важнейших результатов. Он исследовал особенности потенциала системы зарядов и диполей, непрерывно распределенных на некоторой произвольной поверхности. В теории вероятностей он развил метод характеристических функций, дал доказательство в весьма широких условиях центральной предельной теоремы, высказанной, но не доказанной полностью П.Л. Чебышевым. Метод, использованный Ляпуновым при доказательстве теоремы, является ныне одним из основных в теории вероятностей.

За прошедшее столетие результаты, полученные Александром Михайловичем Ляпуновым, были существенно развиты и дополнены, а созданные им научные направления выросли в отдельные области математики и механики и имеют важнейшие приложения в физике, радиофизике, технике и современных технологиях.

В 1969 году АН СССР учредила Золотую медаль имени А.М. Ляпунова. Традицию присуждения награды имени выдающегося учёного продолжила Российская АН, учредившая в 1995 году Премию имени А.М. Ляпунова. Присуждается Отделением математики (ОМ РАН) отечественным учёным «За выдающиеся работы в области математики и механики»

Имя учёного носит одна из улиц Москвы.

В 2007 году Национальный Банк Украины к 150-летию А.М. Ляпунова выпустил в обиход юбилейную монету номиналом 2 гривны

Юбилейная монета номиналом 2 гривны Национального Банка Украины к 150-летию А.М. Ляпунова (2007)

Имя Ляпунова носят следующие математические и физические объекты:

  • центральная предельная теорема Ляпунова
  • экспонента Ляпунова
  • фрактал Ляпунова
  • функция Ляпунова
  • устойчивость по Ляпунову
  • время Ляпунова
  • поверхность Ляпунова
  • теорема Ляпунова
  • условие Ляпунова.

По материалам сайта theormech.univer.kharkov.ua, Википедии и книги Д. Самина «100 великих учёных» (М.: Вече, 2000).  

 

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Новый раздел на сайте math4school.ru

Закончена работа над новым разделом сайта Работа над ошибками.

Союз образовательных сайтов