Math    schooL

 

 

Легенда о шахматной доске

 

Легенда о шахматной доске

 

Шахматы – одна из самых древних игр. Она существует уже многие века, и неудивительно, что с нею связаны различные предания, правдивость которых, за давностью времени, невозможно проверить.

Об одной из подобных легенд и математической составляющей ее содержания мы сегодня и поведём речь. Чтобы понять ее, не нужно вовсе уметь играть в шахматы: достаточно знать, что игра происходит на доске, разграфленной на 64 клетки. Текст легенды приводится в изложении советского учёного и популяризатора физики, математики и астрономии Якова Исидоровича Перельмана (1882–1942), взятого из его замечательной книги "Живая математика". 

 

Давным-давно...

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку.

Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повели­теля. Это был скромно одетый ученый, получавший сред­ства к жизни от своих учеников.

Сисса бен Дахир (Сасса бен Дахир) – мифический индийский мудрец, которому приписывается изобретение шахмат.

Сисса бен Дахир (Сасса бен Дахир) – мифический индийский мудрец, которому приписывается изобретение шахмат. Упоминается в ряде сочинений на арабском, персидском, тюркском языках, где изложены легенды о происхождении шахмат. Попытки отождествлять Сисса бен Дахира с историческими личностями научного подтверждения не получили.

 

– Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, – сказал царь.

Мудрец поклонился.

– Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание, – продолжал царь.– Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.

Сета молчал.

– Не робей, – ободрил его царь. – Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.

– Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра, по зрелом размышлении, я сообщу тебе мою просьбу.

Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.

– Повелитель, – сказал Сета,– прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

– Простое пшеничное зерно? – изумился царь.

– Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью 4, за четвертую – 8, за пятую – 16, за шестую – 32...

–Довольно, – с раздражением прервал его царь.– Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моею милостью. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший пример уважения к доброте своего государя. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.

Сета улыбнулся, покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца.

Легенда о шахматной доске

За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унес ли уже безрассудный Сета свою жалкую награду.

– Повелитель, – был ответ, – приказание твое исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зерен.

Царь нахмурился. Он не привык, чтобы повеления его исполнялись так медлительно.

Вечером, отходя ко сну, царь еще раз осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца.

– Повелитель, – ответили ему,– математики твои трудятся без устали и надеются еще до рассвета закончить подсчет.

– Почему медлят с этим делом? – гневно воскликнул царь. – Завтра, прежде чем я проснусь, все до последнего зерна должно быть выдано Сете. Я дважды не приказываю.

Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение. Царь приказал ввести его.

– Прежде чем скажешь о твоем деле, – объявил Шерам,– я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.

– Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час,– ответил старик.– Мы добросовестно исчислили все количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико...

– Как бы велико оно ни было, – надменно перебил царь, житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана...

– Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, какое потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыни. Пусть все пространство их сплошь будет засеяно пшеницей. И все то, что родится на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду. С изумлением внимал царь словам старца.

– Назови же мне это чудовищное число, – сказал он в раздумье.

Восемнадцать квинтиллионов четыреста сорок шесть квадриллионов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать, о повелитель!

Аоабская (X век) и персидская (XIV век) миниатюры с изображением шахмат

Арабская (X век) и персидская (XIV век) миниатюры. Обратите внимание: доска одноцветная!  
Черно-белая доска – это уже более позднее изобретение европейцев.  

 

Число-гигант

Такова легенда. Действительно ли было то, что здесь рассказано, неизвестно, – но что награда, о которой говорит предание, должна была выразиться именно таким числом, в этом вы сами можете убедиться терпеливым подсчетом.

Начав с единицы, нужно сложить числа: 1, 2, 4, 8 и т. д. Иначе эту сумму можно записать так: 

1 + 2 + 4 + 8 + . . . = 20 + 21 + 22 + 23 + . . . + 263.

Последнее слагаемое показывает, сколько причиталось изобретателю за 64-ю клетку доски.

Упростим полученную сумму исходя из следующих соображений. Обозначим

S = 20 + 21 + 22 + 23 + . . . + 263,

тогда

2S = 2 · (20 + 21 + 22 + 23 + . . . + 263) = 21 + 22 + 23 + 24 + . . . + 264

и  

S = 2S – S = (21 + 22 + 23 + 24 + . . . + 264) – (20 + 21 + 22 + 23 + . . . + 263) =

   = 264 – 20 = 264 – 1.

Необходимое число зёрен

S = 264 – 1. 

Значит, подсчет сводится лишь к перемножению 64 двоек! (А уж единицу потом вычесть сумеем).

S = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 

          · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 ·

          · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 ·

          · 2 · 2 · 2 · 2 – 1.

Для облегчения выкладок разделим 64 множителя на 6 групп по 10 двоек в каждой и одну последнюю группу из 4 двоек. Произведение 10 двоек, как легко убедиться, равно 1 024, а 4 двоек – 16. Значит, искомый результат равен

S = 1 024 · 1 024 · 1 024 · 1 024 · 1 024 · 1 024 · 16 – 1.

Так как

1024 · 1024 =  1 048 576,

то

S = 1 048 576 · 1 048 576 · 1 048 576 · 16 – 1.

Проявим терпение и аккуратность в подсчётах и получим:

S = 18 446 744 073 709 551 615.

Это количество зерна примерно в 1800 раз превышает мировой урожай пшеницы за год (в 2008 – 2009 аграрном году урожай составил 686 млн тонн), то есть превышает весь урожай пшеницы, собранный за всю историю человечества.

В единицах массы: если принять, что одно зёрнышко пшеницы имеет массу 0,065 грамма, тогда общая масса пшеницы на шахматной доске составит около 1,200 триллионов тонн:

18 446 744 073 709 551 615 · 0,065 гр = 1 199 038 364 791 120 854, 975 гр =

= 1 199 038 364 791, 120 т.

Если массу пшеницы перевести в объем (1 м3 пшеницы весит около 760 кг), то получится приблизительно 1500 км3, что эквивалентно амбару с размерами 10 км х 10 км х 15 км. Это больше всего объёма горы Эверест.

Индусский царь не в состоянии был выдать подобной награды. Но он легко мог бы, будь он силен в математике, освободиться от столь обременительного долга. Для этого нужно было лишь предложить Сете самому отсчитать себе зерно за зерном всю причитавшуюся ему пшеницу.

В самом деле: если бы Сета, принявшись за счет, вел его непрерывно день и ночь, отсчитывая по зерну в секунду, он в первые сутки отсчитал бы всего 86 400 зерен. Чтобы отсчитать миллион зерен, понадобилось бы не менее 10 суток неустанного счета. Один кубический метр пшеницы он отсчитал бы примерно за полгода. И осталось бы отсчитать ещё 1 499 999 999 999 м3. Вы видите, что, посвятив счету даже весь остаток своей жизни, Сета получил бы лишь ничтожную часть потребованной им награды.

 

Таблица зерен и их сумм

Для тех, кто буквам и словам предпочитает цифры и числа, приведём таблицу распределения зерен по клеткам шахматной доски и постепенного суммарного роста их количества. Зрелище, по-своему, завораживающее.

  Клетки  

       Зёрен на клетке        

       Рост числа всех зёрен       

1

2

3

4

15 

5

16 

31 

6

32 

63 

7

64 

127 

8

128 

255 

9

256 

511 

10

512 

1 023 

11

1 024 

2 047 

12

2 048 

4 095 

13

4 096 

8 191 

14

8 192 

16 383 

15

16 384 

32 767 

16

32 768 

65 535 

17

65 536 

131 071 

18

131 072 

262 143 

19

262 144 

524 287 

20

524 288 

1 048 575 

21

1 048 576 

2 097 151 

22

2 087 152 

4 194 303 

23

4 194 304 

8 388 607 

24

8 388 608 

16 777 215 

25

16 777 216 

33 554 431 

26

33 554 432 

67 108 863 

27

67 108 864 

134 217 727 

28

134 217 728 

268 435 455 

29

268 435 456 

536 870 911 

30

536 870 912 

1 073 741 823 

31

1 073 741 824 

2 147 483 647 

32

2 147 483 648 

4 294 967 295 

33

4 294 967 296 

8 589 934 591 

34

8 589 934 592 

17 179 869 183 

35

17 179 869 184 

34 359 738 367 

36

34 359 738 368 

68 719 476 735 

37

68 719 476 736 

137 438 953 471 

38

137 438 953 472 

274 877 906 943 

39

274 877 906 944 

549 755 813 887 

40

549 755 813 888 

1 099 511 627 775 

41

1 099 511 627 776 

2 199 023 255 551 

42

2 199 023 255 552 

4 398 046 511 103 

43

4 398 046 511 104 

8 796 093 022 207 

44

8 796 093 022 208 

17 592 186 044 415 

45

17 592 186 044 416 

35 184 372 088 831 

46

35 184 372 088 832 

70 368 744 177 663 

47

70 368 744 177 664 

140 737 488 355 327 

48

140 737 488 355 328 

281 474 976 710 655 

49

281 474 976 710 656 

562 949 953 421 311 

50

562 949 953 421 312 

1 125 899 906 842 623 

51

1 125 899 906 842 624 

2 251 799 813 685 247 

52

2 251 799 813 685 248 

4 503 599 627 370 495 

53

4 503 599 627 370 496 

9 007 199 254 740 991 

54

9 007 199 254 740 992 

18 014 398 509 481 983 

55

18 014 398 509 481 984 

36 028 797 018 963 967 

56

36 028 797 018 963 968 

72 057 594 037 927 935 

57

72 057 594 037 927 936 

144 115 188 075 855 871 

58

144 115 188 075 855 872 

288 230 376 151 711 743 

59

288 230 376 151 711 744 

576 460 752 303 423 487 

60

576 460 752 303 423 488 

1 152 921 504 606 846 975 

61

  1 152 921 504 606 846 976 

2 305 843 009 213 693 951 

62

  2 305 843 009 213 693 952 

4 611 686 018 427 387 903 

63

   4 611 686 018 427 387 904 

9 223 372 036 854 775 807 

64

 9 223 372 036 854 775 808 

18 446 744 073 709 551 615 

 

Вторая половина шахматной доски

В технологии стратегий «вторая часть шахматной доски» — фраза, придуманная Рэем Курцвайлемв отношении точки, в которой экспоненциальный рост фактора начинает оказывать существенное экономическое влияние на общую экономическую стратегию предприятия. В то время как количество зёрен на первой половине доски велико, количество на второй половине многократно его превышает. Количество зёрен на первой половине доски составляет

1 + 2 + 4 + … + 2 147 483 648,

всего

232 − 1 = 4 294 967 295

зёрен, или около 100 000 кг. Это примерно 1/1 200 000 от всего объёма зерна, выращиваемого в Индии за год (данные за 2005 год).

Количество зерна на второй половине доски составляет

232 + 233 + 234 … + 263.

На одной только 64-й клетке доски будет

263 = 9 223 372 036 854 775 808

зёрен, более чем в 2 миллиарда раз больше, чем на всей первой половине доски.

Расстояние от Солнца до ближайшей звезды Альфа Центавра составляет 4,367 св. года. Один световой год равен

9 460 730 472 580 800 м.

Значит, Альфа Центавра удалена от нас более чем на

41 000 000 000 000 000 м.

Считая длину пшеничного зерна  равным 0,005 м, не трудно посчитать, что все полагающиеся мудрецу зерна, выложенные в цепочку одно за другим, вытянутся на расстояние более чем

92 000 000 000 000 000 м.

С избытком хватит до ближайшей звезды и обратно. При этом больше половины всего пути можно выложить зернами только с 64-й клетки.

 

Экспоненциальный рост

Стремительное возрастание значений величины, подобное тому, которое мы наблюдали, в математике называется экспоненциальным ростом.

Экспоненциальный рост – возрастание величины, когда скорость роста пропорциональна значению самой величины. Говорят, что такой рост подчиняется экспоненциальному закону. В случае дискретной области определения с равными интервалами его еще называют геометрическим ростом (значения функции образуют геометрическую прогрессию). 

Для любой экспоненциально растущей величины чем большее значение она принимает, тем быстрее растет. Также это означает, что величина зависимой переменной и скорость ее роста прямо пропорциональны.

Примером экспоненциального роста может быть рост числа бактерий в колонии до наступления ограничения ресурсов.

Экспоненциальный рост (в нашем случае y = 2x) противопоставляется более медленным (на достаточно длинном промежутке времени) линейной (у = kx) или степенной (y = xn) зависимостям.

Линейный, степенной и экспоненциальный рост

При небольших значениях аргумента значения линейной функции y = 50xпревосходят значения степеннойy =x3 и показательной y = 2x  функций. Но при достаточно больших значениях x картина меняется с точностью до наоборот. Экспоненциальный рост в итоге оказывается гораздо более быстрым, чем любой степенной и тем более любой линейный рост.

 

Эпилог

В своё время из всего многообразия учебных кинолент и мультфильмов о математике, созданных на английском языке, отобрали пять фильмов для демонстрации в Калифорнийском Музее Науки при Калифорнийской Академии Наук и Чикагском Музее Науки и Промышленности. Одним из этих фильмов был мультфильм "A story of power of numbers" (1961) ("История о силе чисел"), в котором рассказывается история о самонадеянном правителе и несметном количестве зерен на клетках шахматной доски.

Новое здание Калифорнийской академии наук. парк «Золотые ворота», Сан-Франциско, КалифорнияНовое здание Калифорнийской академии наук. Парк «Золотые ворота», Сан-Франциско, Калифорния, США

 

 

Музей науки и промышленности. Чикаго, штат Иллинойс, СШАМузей науки и промышленности. Чикаго, штат Иллинойс, США

 

 

Источники: Я.И. Перельман "Живая чатематика" (Москва, "Наука", 1970), Википедия, сайты: britton.disted.camosun.bc.ca, mathforum.org и статья Ю.Л. Авербаха "Шахматы в зеркале времени" на сайте whychess.com

 

  <<< Назад

 

     Смотрите так же:

История о силе чисел (1961, США) (мультфильм) (англ.)

Легенда о зёрнах и шахматной доске (мультфильм)

Таблица названий больших чисел

Гугол и Вселенная

 

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Новый раздел на сайте math4school.ru

Закончена работа над новым разделом сайта Работа над ошибками.

Союз образовательных сайтов