Math    schooL

 

 

Когда произведение наибольшее?

 

Когда произведение наибольшее? 

Для решения многих задач "на максимум и минимум", т.е. на разыскание наибольшего и наименьшего значений переменной величины, можно успешно пользоваться некоторыми алгебраическими утверждениями, с которыми мы сейчас познакомимся.

 

x · y

Рассмотрим следующую задачу:

На какие две части надо разбить данное число, чтобы произведение их было наибольшим?

Пусть данное число а. Тогда части, на которые разбито число а, можно обозначить через

а/2 + x  и  a/2 – x;

число х показывает, на какую величину эти части отличаются от половины числа а. Произведение обеих частей равно

(а/2 + x) · (a/2 – x) = a2/4 – x2.

Ясно, что произведение взятых частей будет увеличиваться при уменьшении х, т.е. при уменьшении разности между этими частями. Наибольшим произведение будет при x = 0, т.е. в случае, когда обе части равны a/2.

Итак,

произведение двух чисел, сумма которых неизменна, будет наибольшим тогда, когда эти числа равны между собой.

 

x · y · z 

Рассмотрим тот же вопрос для трех чисел.

На какие три части надо разбить данное число, чтобы произведение их было наибольшим?

При решении этой задачи будем опираться на предыдущую.

Пусть число а разбито на три части. Предположим сначала, что ни одна из частей не равна a/3.Тогда среди них найдется часть, большая a/3 (все три не могут быть меньше a/3); обозначим ее через

a/3 + x.

Точно так же среди них найдется часть, меньшая a/3 ; обозначим ее через

a/3 – y.

Числа х и у положительны. Третья часть будет, очевидно, равна

a/3 + y – x.

Числа a/3 и a/3 + x – y имеют ту же сумму, что и первые две части числа а, а разность между ними, т.е. х – y, меньше, чем разность между первыми двумя частями, которая была равна х + y. Как мы знаем из решения предыдущей задачи, отсюда следует, что произведение

a/3 · (a/3 + x – y)

больше, чем произведение первых двух частей числа а.

Итак, если первые две части числа а заменить числами

a/ и  a/3 + x – y,

а третью оставить без изменения, то произведение увеличится.

Пусть теперь одна из частей уже равна a/3. Тогда две другие имеют вид

a/3 + z  и  a/3 – z.

Если мы эти две последние части сделаем равными a/3 (отчего сумма их не изменится), то произведение снова увеличится и станет равным

a/3 · a/3 · a/3 = a3/27.

Итак,

если число а разбито на 3 части, не равные между собой, то произведение этих частей меньше чем а3/27, т.е. чем произведение трех равных сомножителей, в сумме составляющих а.

Подобным же образом можно доказать эту теорему и для четырех множителей, для пяти и т.д.

 

xp · yq

Рассмотрим теперь более общий случай.

При каких значениях х и y выражение хpуq наибольшее, если х + y = а?

Надо найти, при каком значении х выражение

хр · (а – х)q

достигает наибольшей величины.

Умножим это выражение на число 1/рpqq. Получим новое выражение

xp/pp · (a – x)q/qq,

которое, очевидно, достигает наибольшей величины тогда же, когда и первоначальное.

Представим полученное сейчас выражение в виде

x/p · x/p · ... · x/p · (a – x)/q · (a – x)/q · ... · (a – x)/q ,

где множители первого вида повторяются p раз, а второго – q раз. 

Сумма всех множителей этого выражения равна

 x/p + x/p + ... + x/p + (a – x)/q + (a – x)/q + ... + (a – x)/q =

px/p + q(a – x)/q = x + a – x = a ,

т.е. величине постоянной.

На основании ранее доказанного заключаем, что произведение

x/p · x/p · ... · x/p · (a – x)/q · (a – x)/q · ... · (a – x)/q

достигает максимума при равенстве всех его отдельных множителей, т.е. когда

x/p = (a – x)/.

Зная, что а – х = y, получаем, переставив члены, пропорцию

x/y = p/.

Итак,

произведение  хpyq  при постоянстве суммы  х + у  достигает наибольшей величины тогда, когда  

x : y = p : q.

Таким же образом можно доказать, что

произведения

xpyqzr,  xpyqzrtu  и  т.п.

при постоянстве сумм x + y + z, x + y + z + t и т.д. достигают наибольшей величины тогда, когда

х : у : z = p : q : r,  х : у : z : t = p : q : r : u  и  т.д.

 

Источник: Я.И. Перельман. Занимательная алгебра (Москва, "Наука", 1970). 

 

  <<< Назад

 

     Смотрите так же:

Геометрические задачи на максимум

Тремя одинаковыми цифрами

И вновь о средних...

Задачи математических олимпиад. Суммы и произведения

Задачи математических олимпиад. Оценки для наборов чисел и таблиц. Принцип крайнего

 

Группа Математика для школы|math4school.ru ВКонтакте

Давно собирался и вот, наконец! Примерно так выглядит история нашей группы ВКонтакте. Сомнения в необходимости её существования отброшены, и первые материалы сообщества уже выложены.

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.