Math    schooL

 

 

И вновь о средних...

 

И вновь о среднем...

 

Известно, что для любых положительных чисел a и b верно

2   ≤  ab  ≤   a + b ,
1/а + 1/b 2

где первое выражение называют средним гармоническим, второе – средним геометрическим (пропорциональным), третье – средним арифметическим двух чисел.

Докажем эти неравенства, для чего воспользуемся следующими геометрическими соображениями.

Пусть a и b – основания равнобокой трапеции ABCD. Так как

четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны,

то достаточно взять боковые стороны трапеции равными

a + b ,
2

чтобы в трапецию ABCD можно было вписать окружность:

 

Тогда для высоты трапеции ВН верно: 

BH2 = AB2AH2 =  ( a + b )2( ab )2 = ab,
2 2
BH  =  ab 

В прямоугольном треугольнике АВН с высотой HG проведённой к гипотенузе АВ, для катета ВН имеем:

BH = BG · AB

BH2 = BG · AB

тогда

BG =  BH2  =  ab  =  2  =  2
AB (a + b)/2 (a + b)/ab 1/a + 1/b

Так как в прямоугольном треугольнике катет меньше гипотенузы, то

BG < BH (смотрите треугольник BGH)

BH < AB (смотрите треугольник ABH)

и

BG < BH < AB.

Очевидно, что

BG = BH = AB 

при условии, что ABCD – квадрат и, как следствие, a = b.

Таким образом,

2   ≤  ab  ≤   a + b ,
1/а + 1/b 2

причём равенство достигается при a = b, что и требовалось доказать.

 

  <<< Назад

 

     Смотрите так же:

Четырёхугольники

 

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Новый раздел на сайте math4school.ru

Закончена работа над новым разделом сайта Работа над ошибками.

Союз образовательных сайтов