Math    schooL

 

 

И вновь о средних...

 

И вновь о среднем...

 

Известно, что для любых положительных чисел a и b верно

2   ≤  ab  ≤   a + b ,
1/а + 1/b 2

где первое выражение называют средним гармоническим, второе – средним геометрическим (пропорциональным), третье – средним арифметическим двух чисел.

Докажем эти неравенства, для чего воспользуемся следующими геометрическими соображениями.

Пусть a и b – основания равнобокой трапеции ABCD. Так как

четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны,

то достаточно взять боковые стороны трапеции равными

a + b ,
2

чтобы в трапецию ABCD можно было вписать окружность:

 

Тогда для высоты трапеции ВН верно: 

BH2 = AB2AH2 =  ( a + b )2( ab )2 = ab,
2 2
BH  =  ab 

В прямоугольном треугольнике АВН с высотой HG проведённой к гипотенузе АВ, для катета ВН имеем:

BH = BG · AB

BH2 = BG · AB

тогда

BG =  BH2  =  ab  =  2  =  2
AB (a + b)/2 (a + b)/ab 1/a + 1/b

Так как в прямоугольном треугольнике катет меньше гипотенузы, то

BG < BH (смотрите треугольник BGH)

BH < AB (смотрите треугольник ABH)

и

BG < BH < AB.

Очевидно, что

BG = BH = AB 

при условии, что ABCD – квадрат и, как следствие, a = b.

Таким образом,

2   ≤  ab  ≤   a + b ,
1/а + 1/b 2

причём равенство достигается при a = b, что и требовалось доказать.

 

  <<< Назад

 

     Смотрите так же:

Четырёхугольники

 

Группа Математика для школы|math4school.ru ВКонтакте

Давно собирался и вот, наконец! Примерно так выглядит история нашей группы ВКонтакте. Сомнения в необходимости её существования отброшены, и первые материалы сообщества уже выложены.

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Союз образовательных сайтов