Math    schooL

 

 

Элементы теории множеств

 

Капли дождя. Элементы теории множеств

 

Мы посвящаем эту главу предмету, близко соприкасающемуся с основами математики, не в силу философской важности этих основ, а по той причине, что крайне простые в своей сущности, не требующие никаких предварительных познаний идеи и выводы великого основоположника теории множеств Георга Кантора (1845 – 1918) являют собой образец подлинно математического стиля. Истинная математика заключается не в нагромождении искусственных вычислительных приемов, а в умении получать нетривиальные результаты путем размышления при минимуме применяемого аппарата.

Г. Кантора считают одним из создателей современной математики, которая в значительной степени основана на разработанной им теоретико-множественной основе. Значение теории множеств отнюдь не исчерпывается ее философскими выводами. Устанавливая общие закономерности для явлений и фактов, принадлежащих различным, порой весьма далеко отстоящим одна от другой областям математики, внутренне систематизируя содержание этих разнообразных областей, теория множеств представляет в настоящее время необходимую базу для развития основных разделов математики – алгебры, топологии, теории вероятностей, функционального анализа. Через эти науки устанавливается и связь теории множеств с техникой.

 

Мощность множества целых чисел 

Каких чисел больше – целых или четных? Где больше точек – на отрезке прямой или внутри квадрата? Из такого рода вопросов исходил Г. Кантор при построении теории множеств. В попытках ответить на эти вопросы здесь важно не допустить логического прыжка. Разумеется, в только что приведенных формулировках эти вопросы лишены точного смысла, и первый знаменательный шаг Кантора состоял как раз в том, что он впервые сообщил им совершенно точный и ясный смысл. Он отталкивался от обычного счета конечного числа предметов, а присутствующее здесь существенное отличие выражал тем, что грамматически выражается разницей между количественными и порядковыми числительными.

Представьте себе, что вы, находясь в танцевальном зале, задаетесь вопросом, кого больше среди громадного количества присутствующих – мужчин или женщин. Как это можно установить? Один из возможных способов таков: руководитель выстраивает в ряд всех мужчин у одной стены, всех женщин – у другой, пересчитывает оба ряда и сравнивает полученные числа. Много проще другой способ: стоит только начать танцы, каждый мужчина пригласит даму, и тогда само собой выясняется, кого больше – мужчин или женщин.

Этот принцип попарного сочетания или взаимно однозначного соответствия Кантор и принял за исходный пункт своих построений. Например, если он хочет узнать, больше ли целых чисел, чем четных, то он спрашивает, можно ли или нельзя установить между обоими этими видами чисел такое попарное соответствие, при котором ни одно число не остается без пары. И вот оказывается, что эти числа действительно возможно объединить в пары так, что каждое целое число составит пару с некоторым четным и при этом ни одно не останется лишним. Соответствие это устанавливается так:

1,    2,    3,    4,    5,    6,    ...   
2,    4,    6,    8,    10,   12,   ...  .

Каждое целое число верхнего ряда сочетается здесь с расположенным под ним четным числом нижнего ряда. Ни одно число ни в верхнем, ни в нижнем ряду не остается без соответствующей ему пары. Кажется удивительным, что такое объединение в пары между числами верхнего и нижнего рядов осуществляется без остатка, несмотря на то, что нижний ряд не содержит в себе никаких других чисел, кроме части чисел верхнего ряда.

Тут, естественно, возникает одно возражение. Бросается в глаза разница между только что разобранным случаем и случаем конечных чисел. Так, в примере с танцевальным залом, о котором у нас шла речь раньше, совершенно безразлично, какую женщину пригласит тот или иной мужчина; как бы ни происходили эти различные выборы, число оставшихся в излишке не будет от них зависеть и будет оставаться неизменно одним и тем же, если только новые лица не войдут в зал или кто-либо из него не выйдет. В примере с целыми и четными числами дело обстоит иначе. Выше мы указали для этих чисел объединение в пары, удавшееся без остатка; можно, однако, наряду с этим указать другое объединение в пары, уже не удовлетворяющее этому условию и нарушающее равновесие в пользу целых чисел. Я могу, например, объединять в пары таким, пожалуй, даже более естественным способом: числу 2 первого ряда поставить в соответствие число 2 второго, 4 сочетать с 4, 6 – с 6 и т.д. Тогда все четные числа войдут в состав пар, нечетные же останутся лишними. Существенным в рассуждениях Кантора является именно то, что он отказывается от произвольности в выборе способа сочетания в пары, требуя существования хотя бы одного такого объединения в пары, которое удается без остатка, и в этом случае он говорит, что оба рассматриваемых множества имеют одинаковую мощность.  Такой подход вполне оправдан.

Действительно, можно также сопоставлять каждому числу верхнего ряда число, которое в четыре раза большее его: число 1 с числом 4, число 2 с числом 8, число 3 с числом 12 и т.д. При этом все целые числа войдут в состав пар, а четные будут использованы лишь частично, из чего может составиться представление о том, что четных чисел имеется больше, чем всех чисел. Эта зависимость возможности установления взаимно однозначного соответствия от способа сочетания пар иногда формулируется в виде требования о том, чтобы в случае (реально, разумеется, невозможном) наличия бесконечно большого числа гостей пришедшие особенно внимательно следили за тем, чтобы одеть при уходе именно свои галоши. В противном случае, в отличие от ситуации с конечным числом гостей, можно представить себе такую ситуацию, при которой уже часть гостей заберет все галоши и для других ничего не останется, несмотря на то, что каждый гость пришел в одной паре галош и ушел также, взяв единственную пару. Здесь можно мысленно также представить себе случай, когда все гости ушли домой в галошах и, несмотря на это, ряд пар галош – даже, если угодно, бесконечно большое число пар – остались хозяину дома. 

 

Счетность множества рациональных чисел 

Кантор утверждает дальше, что множество всех рациональных чисел, т.е. всех целых чисел вместе со всеми дробями, имеет мощность не большую мощности множества целых чисел.

Доказательство этого утверждения основано на том, что дроби располагаются не по их величине, а по величине суммы, получающейся при сложении числителя со знаменателем. Сначала берут все дроби (конечно, уже сокращенные), у которых сумма числителя и знаменателя равна 2, – этим свойством обладает только одна дробь 1/1 = 1; затем – все те, у которых сумма равна 3, а именно 1/2 и 2/1 = 2; далее берут дроби с суммой числителя и знаменателя, равной 4: 1/3, 2/2, 3/1, причем 2/2 мы отбрасываем, так как это дробь сократимая; после этого – с суммой, которая равна 5: 1/4, 2/3, 3/2, 4/1; и т.д. В этом же порядке их записывают последовательно под числами натурального ряда

1    2    3    4    5    6    7    8    9    10    11    12    ...   
1    1/2    2    1/3    3    1/4    2/3    3/2    4    1/5    5    1/6    ...  .

Теперь у нас при попарном сочетании чисел, стоящих одно над другим, получается взаимно однозначное соответствие. Действительно, в нижнем ряду не может отсутствовать ни одно рациональное число, ибо каждое рациональное число имеет определенную сумму числителя и знаменателя и поэтому должно рано или поздно появиться в этом ряду.

Кантор выражает этот поразительный факт, говоря, что множество всех рациональных чисел есть множество счетное, так как эти числа, объединенные в пары с числами натурального ряда, можно пересчитывать по одному. Таким образом, он называет множество счетным, если оно может быть приведено во взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел, т.е. если оно имеет одинаковую с этим последним мощность. Кантор доказывает далее, что некоторые множества, казалось бы значительно более обширные, чем множество рациональных дробей, в действительности имеют также мощность счетного множества. Мы опустим эти рассуждения, требующие более высоких математических познаний и представляющие собой лишь новые иллюстрации к тому, что было только что рассмотрено на одном примере.

 

Мощность множества точек единичного отрезка

Наконец, Кантор приходит к тому открытию, которое собственно впервые и придало его теории достаточную жизнеспособность: он обнаружил, что существуют множества более мощные, чем множество чисел натурального ряда. А именно: он доказывает, что множество всех точек отрезка имеет более высокую мощность, чем множество чисел натурального ряда.

Доказательство ведется методом от противного: приводится к противоречию предположение, что число точек отрезка счетно, т.е. что между точками отрезка, длиной, например, в 1 м, и целыми числами существует взаимно однозначное соответствие.

Предположим, что можно каким-то способом пересчитать точки отрезка, записав их в ряд, само собой разумеется, не в порядке их обычного расположения, а в какой-либо другой последовательности, так что можно назвать первую точку, вторую и т.д. Лучше всего численно характеризовать точки нашего метра в сантиметрах, миллиметрах и т.д., отсчитываемых по шкале с эталоном 1м. При таком способе середина отрезка характеризуется числом 0,5, и аналогично всякая другая точка характеризуется некоторой десятичной дробью, в которой при полной точности будет, вообще говоря, бесконечно много знаков; например, для точки, лежащей в конце первой трети отрезка, будем иметь дробь 0,3333... Предположение, что множество точек нашего отрезка счетно, переносится теперь на характеризующие их бесконечные десятичные дроби, которые в таком случае можно было бы занумеровать в определённом порядке. На первом месте стояла бы какая-нибудь десятичная дробь, имеющая вид 0,...; на втором – какая-то другая дробь того же вида и т.д. У нас получилась бы при этом картина, аналогичная приведенной ниже, где для наглядности взят конкретный пример. Из технических соображений ряд записывается теперь не горизонтально, а вертикально:

1      0, 3 5 4 2 0 ...
2      0, 6 1 7 7 3 ... 
3      0, 5 5 5 4 9 ... 
4      0, 0 1 0 0 7 ... 
5      0, 2 0 2 0 6 ... 
...    0, ... 

Теперь нужно показать, что все же возможно найти такую точку, т.е. такую бесконечную десятичную дробь вида 0,... , которая не содержится в этом ряде. Мы строим ее следующим образом: на первое место после запятой ставим какую-либо произвольную цифру, отличную от первой цифры первой десятичной дроби последовательности. Мы имеем здесь выбор из 9 различных цифр. Чтобы остановиться на чем-нибудь определенном, возьмем цифру 1. Если первая цифра первой десятичной дроби как раз 1, то примем цифру 2. Можно быть уверенным теперь, что как бы ни выбирали следующие цифры конструируемой десятичной дроби, она, во всяком случае, будет отличаться от первой дроби написанного выше ряда, ибо, если две десятичные дроби различаются уже в первом знаке, они не могут характеризовать одной и той же точки, даже если бы все остальные их знаки и совпадали. Для второго знака выбираем опять 1, если только второй знак второй дроби не равен также 1; в этом случае мы взяли бы вторую цифру равной 2; иными словами, мы брали бы всякий раз такую цифру, чтобы она была отлична от второй цифры второй десятичной дроби. Тогда конструируемая десятичная дробь будет, во всяком случае, отличаться не только от первой, но и от второй из десятичных дробей последовательности. Таким же образом мы продолжим дальше. В нашем примере получающаяся десятичная дробь будет начинаться так: 0,12111..., и так как мы можем продолжать ее неограниченно, то тем самым определяется некоторая десятичная дробь, заведомо отличающаяся от всех дробей пересчитанной последовательности. Следовательно, эта последовательность не может заключать в себе все бесконечные десятичные дроби вида 0,... , вопреки предположению, сделанному в начале доказательства. Это значит, что множество точек отрезка не является счетным.

Нельзя не упомянуть об одном возражении, которое можно выдвинуть против этого доказательства; оно побудило Кантора облечь свое доказательство в совершенно иную форму,

хотя это возражение и можно чрезвычайно легко устранить. Дело в том, что существуют такие бесконечные десятичные дроби, которые содержат, начиная с некоторого знака, одни лишь девятки, как, например, дробь 0,26999... , представляющая собой в действительности не что иное, как 0,27000... или, как в подобных случаях принято кратко писать, 0,27. Мы встречаемся здесь, таким образом, с тем неприятным обстоятельством, что две различные десятичные дроби характеризуют одну и ту же точку, в то время как в нашем доказательстве мы пользовались тем, что каждая точка метра характеризуется только одной десятичной дробью. Выход из положения, однако, весьма несложен: мы просто исключаем из рассмотрения подобные бесконечные десятичные дроби с девятками. Осложнение в доказательстве могло бы теперь возникнуть лишь в том случае, если бы построенная в результате дробь оказалась составленной из девяток. Но эта возможность в доказательстве предусмотрена и исключена, ибо построенная десятичная дробь составлена лишь из цифр 1 и 2; цифра 9 здесь вовсе не встречается.

Полученный результат дает возможность сделать интересный вывод. Так как мы уже знаем, что множество рациональных чисел менее мощно, чем множество всех чисел между 0 и 1, то, значит, в интервале между 0 и 1 обязательно должны быть числа, не принадлежащие к рациональным. Таким образом, существование иррациональных чисел обнаруживается здесь из рассуждений весьма общего характера, совсем иначе, чем, например, при рассмотрении вопроса о несоизмеримости стороны и диагонали квадрата.

 

Точки квадрата и его стороны

Следующий полученный Кантором результат является столь же неожиданным.

Множество точек, расположенных внутри квадрата и на его сторонах имеет мощность не большую, чем множество точек стороны квадрата.

Удивительна здесь полная независимость от понятия измерения: рассматриваемый как множество точек одномерный отрезок имеет одинаковую мощность с двумерным квадратом; и можно было бы точно так же показать, что и трехмерный куб имеет не большую мощность.

Множество точек, расположенных внутри квадрата и на его сторонах имеет мощность не большую, чем множество точек стороны квадрата.

Как и в предыдущем случае, доказательство проводится арифметически. Точки отрезка опять характеризуются бесконечными десятичными дробями вида 0,... , за исключением дробей с девяткой в периоде. Точки квадрата отмечаются парами таких десятичных дробей, а именно: во-первых, дробью, которая измеряет горизонтальное расстояние х точки от левой стороны квадрата, во-вторых, дробью, измеряющей ее вертикальное расстояние у от нижней стороны квадрата. Взаимно однозначное соответствие между точками квадрата и точками отрезка устанавливается теперь следующим образом: взяв какую-нибудь точку квадрата Р, определяют обе дроби, которые ее характеризуют:

x = 0,а1а2а3 ,

y = 0,b1b2b3 ;

затем из них строят десятичную дробь:

z = 0,a1b1a2b2a3b3 ,

в которой цифры обеих первых дробей х и у размещены чередуясь, и, наконец, определяют такую точку Q на отрезке, которая характеризуется числом z. Например, центру квадрата будет соответствовать десятичная дробь z = 0,550000... , полученная описанным выше способом из значений x = 0,5000… и y = 0,5000… . Таким способом каждой точке квадрата будет поставлена в соответствие некоторая точка отрезка.

В этом собственно еще нет никакого достижения, то же самое можно было бы осуществить гораздо проще. Если, например, любой точке Р квадрата мы поставим в соответствие основание

перпендикуляра, опущенного из Р на нижнюю сторону квадрата, то этим самым мы каждой точке квадрата поставили бы в соответствие точку нижней стороны, но при этом точке нижней стороны соответствовала бы не одна точка квадрата, а все бесконечное множество их, заполняющее перпендикуляр с этим основанием. В описанном выше более тонком соответствии такая возможность исключена. Ибо если бы некоторая другая точка Р' квадрата с определяющими числами

x' = 0,а'1а'2а'3 … ,

y' = 0,b'1b'2b'3 … ;

была поставлена в соответствие той же самой точке Q верхней стороны квадрата, т.е. с тем же самым определяющим числом z, что и выше, то мы имели бы

z = 0,a'1b'1a'2b'2a'3b'3 .

Но две десятичные дроби могут быть равны только в том случае, если они совпадают во всех своих знаках. Следовательно, все знаки этой дроби должны быть те же самые, что и написанные раньше для дроби z, т.е.

a'1 = a1

b'1 = b1

а'2 = а2

b'2 = b2

. . .  

а это значит, что все знаки x' совпадают с соответствующими знаками x и все знаки y' – с соответствующими знаками y, вопреки предположению, что Р и Р' – различны. Следовательно,

одна и та же точка стороны, при данном построении соответствия, не может соответствовать различным точкам квадрата.

Соответствие будет полным, если удастся установить, что всякой точке отрезка соответствует некоторая точка квадрата. Это действительно так, ибо пусть

z = 0,c1c2c3c4c5c6...

– число, которое определяет точку стороны; тогда точка квадрата с определяющими числами

x = 0,c1c3c5... ,

y = 0,c2c4c6... ,

будет соответствовать той точке отрезка, которая определяется числом, получающимся соединением дробей x и y указанным выше способом, а оно совпадает как раз с исходным числом z.

Против этого доказательства также может быть выдвинуто возражение в связи с рядами девяток. Именно, когда мы находим точку квадрата, сопряженную с той точкой отрезка, которая определяется числом 0,2202020... , то характеризующие эту точку числа будут такими:

x = 0,2000 ... ,

y = 0,2222 ... .

С другой стороны, точке отрезка 0,12929292... соответствует точка квадрата с числами

x' = 0,1999 ... ,

y' = 0,2222 ... .

Полученный ряд девяток приводит к тому, что две различные точки отрезка сопряжены с одной и той же точкой квадрата.

Эту двойственность можно исправить, если и не совсем очевидным, то во всяком случае чрезвычайно простым приемом. В вышеприведенной форме доказательство неправильно, но оно становится правильным после следующего видоизменения. В том случае, если в десятичной дроби встречаются девятки, их вместе с ближайшими примыкающими к ним соседними знаками объединяют в своего рода «молекулы» таким, например, образом:

0, (1) (2) (92) (92) (92),

или, чтобы привести другой пример:

0, (7) (3) (94) (990) (9997) ... ,

и рассматривают эти «молекулы» как нераздельные. Если подобная дробь рассматривается как значение z, ее разбивают так, чтобы не раздробить этих «молекул»:

x = 0, (7) (94) (9997) ... ,

y = 0, (3) (990) ... .

Соответствие при этом выполнено по правилу, несколько отличающемуся от прежнего, и легко убедиться, что, при условии запрещения рядов с девятками, наше возражение отпадает.

 

Немного о проблеме континуума 

В этом пункте своих исследований Кантор столкнулся с чрезвычайно интересной проблемой, а именно с вопросом: существует ли между множеством натуральных чисел и множеством точек отрезка некоторое промежуточное множество, мощность которого выше мощности первого множества и ниже мощности второго, или такое промежуточное множество не существует? 

Эта проблема, получила название проблемы континуума.

Формулировка этой проблемы столь проста, что для ее понимания не требуется даже и тех знаний, которые приобретаются в средней школе, – достаточно лишь понятия о целом числе и отрезке,– и тем не менее редкая математическая проблема сопротивлялась столь упорно всем усилиям одолеть ее. В математике совсем нетрудно придумать десятки проблем, охватывающих ряд сложнейших построений и понятий, проблем, над которыми может быть, безуспешно будут ломать головы даже талантливые математики. Но очень трудно – и в этом заключается подлинное искусство постановки математических задач – выдвинуть проблему, трактующую о самых простых понятиях и которую при этом нельзя легко решить, которая бы не была тривиальна. Проблема континуума с этой точки зрения, т.е. с точки зрения искусства постановки вопроса, представляет собой блестящее достижение.

В середине 60-х годов ХХ века эту проблему решил американский математик Пол Джозеф Коэн (1934 – 2007). Выяснилось, что эту проблему средствами современной математики невозможно ни доказать, ни опровергнуть. За это своё достижение Коэн в 1966 году на Московском Международном математическом конгрессе получил наивысшую награду, присуждаемую за математические открытия – премию Джона Филдса.

 

Парадоксы теории множеств 

Весьма скоро выяснилось, что проблема континуума связана с самыми основами теории множеств, а вместе с тем и всей математики и что исследование этой проблемы предполагает глубокий анализ понятия множества. К такому анализу еще более настоятельно побуждают и возникшие с течением времени парадоксы теории множеств. Рассмотрением этих парадоксов мы и закончим настоящую тему.

Мы уже достаточно говорили о множествах. Наши множества состояли из каких-то элементов. Множество точек отрезка, например, имеет своими элементами отдельные точки отрезка; равным образом, отдельные целые числа суть элементы множества целых чисел. Элементы в множестве – это то же самое, что члены в каком-либо обществе или объединении. Иногда членами объединения могут быть юридические лица, являющиеся в свою очередь объединениями; например, «Германский союз математиков» представляет собой не что иное, как объединение различных математических обществ, в него входят: «Общество германских математиков», «Общество содействия математическому образованию» и т.д. Точно так же и среди элементов множества могут быть такие, которые сами являются множествами, например, множество всех счетных множеств состоит лишь из таких элементов, которые сами являются множествами. На заседании «Германского союза математиков» ни один член «Общества германских математиков» как таковой не имеет права голоса, поскольку последним обладают не отдельные математики, а математические общества; точно так же и число 1/5, являющееся элементом множества всех рациональных чисел, не может считаться элементом множества всех счетных множеств: в качестве элемента в это более обширное множество входит множество рациональных чисел как нечто целое.

Только хорошо освоившись с этими новыми понятиями, мы сможем поставить своеобразный вопрос: может ли множество содержать само себя в качестве элемента? Для всех тех обычных множеств, с которыми мы до сих пор имели дело, на этот вопрос следует ответить отрицательно. Однако легко убедиться, что должны все же существовать и такие необычные множества. Например, множество всех вообще мыслимых множеств принадлежит, без сомнения, к таковым, поскольку оно само является множеством. Мы видим, что множества такого необыкновенного вида существуют. Будем пока называть множества, которые содержат сами себя как элемент, необыкновенными множествами, остальные – обыкновенными.

Сделаем еще один шаг дальше и рассмотрим множество всех обыкновенных множеств. Обозначим его через М и поставим вопрос, обыкновенное ли это множество или необыкновенное? Очевидно, что должно иметь место одно из двух положений: либо это множество обыкновенное, либо необыкновенное. Предположим, что это множество необыкновенное, тогда оно содержится среди своих элементов, т.е. оно встречается среди элементов множества М, которые все представляют собой множества обыкновенные, а это противоречит нашему предположению, что мы имеем дело с необыкновенным множеством. Наоборот, если бы оно было обыкновенным множеством, то оно не встречалось бы среди своих элементов, которые исчерпывают собой все без исключения обыкновенные множества, т.е. оно не могло бы быть обыкновенным множеством, оно должно было бы быть, следовательно, множеством необыкновенным, что опять-таки противоречит предположению. Таким образом, и эта вторая возможность приводит также к противоречию.

Этот парадокс вовсе не является специфическим достоянием теории множеств. Чтобы сделать это утверждение более понятным, приведем шуточную формулировку того же парадокса, в которой слово «множество» даже и не упоминается. Один солдат в полку был назначен для выполнения обязанностей цирюльника; точнее, ему было вменено в обязанность брить в полку всех тех и только тех, кто не бреется сам. Как этот солдат должен поступать с самим собой? Если он будет брить себя, значит, он попадет в число тех, кто бреется сам, и тогда он не должен себя брить. Если же он не будет себя брить, то он будет принадлежать к тем, кто сам не бреется и кого как раз он-то и должен брить. Что же, наконец, должен делать этот человек, чтобы в точности выполнить возложенное на него поручение?

Мы имеем здесь дело с чисто логическим парадоксом; теория множеств впервые обнаружила его в явной форме, однако по своей сущности парадокс вовсе с ней не связан. Старая, скучная логика стала интересной. Уже много лет логики и математики в общей напряженной работе стараются освободить логику от ее старых аристотелевских форм, однако сейчас еще трудно предвидеть, в какие новые одежды она оденется.

 

Источник: Ганс Радемахер, Отто Тепліц. Числа і фігури (Тернопіль, «Навчальна книга – Богдан», 2010).

 

   <<< Назад

 

     Смотрите так же: 

Георг Кантор 

Пол Джозеф Коэн

 

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Новый раздел на сайте math4school.ru

Закончена работа над новым разделом сайта Работа над ошибками.

Союз образовательных сайтов