Math    schooL

 

 

Диофант Александрийский

вероятно, 3 век

 

 У осьминогов – по 8 ног, у морских звёзд – по 5.

Сколько в аквариуме морских животных, если всего конечностей – 39?

 

Диофант Александрийский – древнегреческий математик, живший предположительно в III веке нашей эры.

О подробностях его жизни практически ничего не известно. С одной стороны, Диофант цитирует Гипсикла (II век до н. э.); с другой стороны, о Диофанте пишет Теон Александрийский (около 350 года н. э.), – откуда можно сделать вывод, что его жизнь протекала в границах этого периода. Возможное уточнение времени жизни Диофанта основано на том, что его «Арифметика» посвящена «достопочтеннейшему Дионисию». Полагают, что этот Дионисий – не кто иной, как епископ Дионисий Александрийский, живший в середине III в. н. э.

В Палатинской антологии содержится эпиграмма-задача, из которой можно сделать вывод, что Диофант прожил 84 года:

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругой он обручился.

С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец;

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

 

Используя современные методы решения уравнений можно сосчитать, сколько лет прожил Диофант. Составим и решим уравнение: 

Решением этого уравнения является число 84. Таким образом, Диофант прожил 84 года.

Основное произведение Диофанта – «Арифметика» в 13 книгах. К сожалению, сохранились только 6 первых книг из 13.

Первая книга предварена обширным введением, в котором описаны используемые Диофантом обозначения. Неизвестную Диофант называет «числом» (?ριθμ?ς) и обозначает буквой ς, квадрат неизвестной – символом  (сокращение от δ?ναμις – «степень»). Предусмотрены специальные знаки для следующих степеней неизвестного, вплоть до шестой, называемой кубо-кубом, и для противоположных им степеней. Знака сложения у Диофанта нет: он просто пишет рядом положительные члены, причём в каждом члене сначала записывается степень неизвестного, а затем численный коэффициент. Вычитаемые члены также записываются рядом, а перед всей их группой ставится специальный знак в виде перевёрнутой буквы Ψ. Знак равенства обозначается двумя буквами (сокращение от ?σος – «равный»). Сформулированы правило приведения подобных членов и правило прибавления или вычитания к обеим частям уравнения одного и того же числа или выражения: то, что потом у ал-Хорезми стало называться «аль-джебр и аль-мукабала». Введено правило знаков: минус на минус даёт плюс; это правило используется при перемножении двух выражений с вычитаемыми членами. Всё это формулируется в общем виде, без отсылки к геометрическим истолкованиям. 

Большая часть труда – это сборник задач с решениями (в сохранившихся шести книгах их всего 189), умело подобранных для иллюстрации общих методов. Главная проблематика «Арифметики» – нахождение положительных рациональных решений неопределённых уравнений. Рациональные числа трактуются Диофантом так же, как и натуральные, что не типично для античных математиков.

Сначала Диофант исследует системы уравнений 2-го порядка от 2 неизвестных; он указывает метод нахождения других решений, если одно уже известно. Затем аналогичные методы он применяет к уравнениям высших степеней.

В X веке «Арифметика» была переведена на арабский язык, после чего математики стран ислама (Абу Камил и др.) продолжили некоторые исследования Диофанта. В Европе интерес к «Арифметике» возрос после того, как Рафаэль Бомбелли обнаружил это сочинение в Ватиканской библиотеке и опубликовал 143 задачи из него в своей «Алгебре» (1572). В 1621 году появился классический, подробно прокомментированный латинский перевод «Арифметики», выполненный Баше де Мезириаком. Методы Диофанта оказали огромное влияние на Франсуа Виета и Пьера Ферма; послужили отправной точкой в исследованиях Гаусса и Эйлера. Впрочем, в Новое время неопределённые уравнения обычно решаются в целых числах, а не в рациональных, как это делал Диофант.

В XX веке под именем Диофанта обнаружен арабский текст еще 4 книг «Арифметики». Часть историков математики проанализировав этот текст, выдвинули гипотезу, что их автором был не Диофант, а хорошо разбиравшийся в методах Диофанта комментатор, вероятнее всего – Гипатия.

Трактат Диофанта «О многоугольных числах» (Περ? πολυγ?νων ?ριθμ?ν) сохранился не полностью; в сохранившейся части методами геометрической алгебры выводится ряд вспомогательных теорем.

Из сочинений Диофанта «Об измерении поверхностей» (?πιπεδομετρικ?) и «Об умножении» (Περ? πολλαπλασιασμο?) также сохранились лишь отрывки.

Книга Диофанта «Поризмы» известна только по нескольким теоремам, используемым в Арифметике.

Сегодня уравнение вида  

где P – целочисленная функция (например, полином с целыми коэффициентами), а переменные  принимают целые значения, называются в честь древнегреческого математика – диофантовыми.
 
Наверное, самым известным диофантовым уравнением является  

Его решения – пифагоровы тройки: (3; 4; 5),  (6; 8; 10), (5; 12; 13), (12; 35; 37)…

Доказательство неразрешимости в целых числах диофантового уравнения  

при  (Великая теорема Ферма) было закончено английским математиком Эндрю Уайлсом в 1994 году.
Ещё один пример диофантового уравнеия – уравнение Пелля

где параметр n не является точным квадратом.
Десятая проблема Гильберта – одна из 23 задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков. В докладе Гильберта постановка десятой задачи самая короткая из всех:

Пусть задано диофантово уравнение с произвольными неизвестными и целыми рациональными числовыми коэффициентами. Указать способ, при помощи которого возможно после конечного числа операций установить, разрешимо ли это уравнение в целых рациональных числах.

Доказательство алгоритмической неразрешимости этой задачи заняло около двадцати лет и было завершено Юрием Матиясевичем в 1970 году.

Во многом благодаря деятельности Паппа Александрийского (III век) до нас дошли сведения об античных учёных и их трудах. После Аполлония (со II века до н. э.) в античной науке начался спад. Новых глубоких идей не появляется. В 146 году до н. э. Рим захватывает Грецию, а в 31 году до н. э. – Александрию. На фоне общего застоя и упадка резко выделяется гигантская фигура Диофанта Александрийского – последнего из великих античных математиков, «отца алгебры». 

Имя Диофанта носят следующие математические объекты:

  • диофантов анализ
  • диофантовы приближения
  • диофантовы уравнения

 

По материалам Википедии.

 

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Новый раздел на сайте math4school.ru

Закончена работа над новым разделом сайта Работа над ошибками.

Союз образовательных сайтов