Math    schooL

 

 

Декартова система координат

 

Координаты на плоскости и в пространстве

Расстояние между точками

Координаты середины отрезка

Координаты точки деления отрезка в данном отношении

Уравнения прямой на плоскости

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Пересечение двух прямых

Уравнение окружности

Уравнение сферы

Уравнения плоскости

Взаимное расположение двух плоскостей


Координаты на плоскости и в пространстве


Ось — прямая линия с указанным на ней направлением.

Ось координат — ось, на которой заданы начало отсчёта (начало координат), единичный отрезок, и каждому действительному числу соответствует определённая единственная точка.


На плоскости

Декартова (прямоугольная) система координат — две взаимно перпендикулярные оси координат (ось абсцисс Ox и ось ординат Oy) с общим началом отсчёта.

Каждой точке А координатной плоскости ставится в соответствие пара чисел (xA; yA) — координаты проекций точки на соответствующие оси координат.

Ax(xA; 0) — проекция точки А на координатную ось Ox;
Ay (0; yA) проекция точки А на координатную ось .

В пространстве

Декартова (прямоугольная) система координат — три взаимно перпендикулярные оси координат (ось абсцисс Ox, ось ординат Oy и ось аппликат Oz) с общим началом отсчёта.

Каждой точке А координатного пространства ставится в соответствие тройка чисел (xA; yA; zA) координаты проекций точки на соответствующие оси координат.

Ax (xA; 0; 0) — проекция точки А на координатную ось Ox;
Ay (0; yA; 0) — проекция точки А на координатную ось ;
Az (0; 0; zA) — проекция точки А на координатную ось Oz;
Axy (xA; yA; 0) — проекция точки А на плоскость Oxy;
Axz (xA; 0; zA) — проекция точки А на плоскость Oxz;
Ayz ( 0; yA; zA) — проекция точки А на плоскость Oyz.


Расстояние между точками

На плоскости
   
В пространстве
   


$$AB=\sqrt{\left ( x_{A}-x_{B} \right )^2+\left ( y_{A}-y_{B} \right )^2}$$
$$AB=\sqrt{\left ( x_{A}-x_{B} \right )^2+\left ( y_{A}-y_{B} \right )^2+\left ( z_{A}-z_{B} \right )^2}$$
Общее правило вычисления расстояния между точками (длины отрезка): 

Расстояние между точками равно корню квадратному из суммы квадратов разностей их соответствующих координат.


Координаты середины отрезка

На плоскости
   
В пространстве
   


$$x_{C}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2};$$
$$y_{C}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}.$$
$$x_{C}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2};$$
$$y_{C}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2};$$
$$z_{C}=\frac{z_{A}+z_{B}}{2}.$$
Общее правило вычисления координат середины отрезка: 

Координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат его концов.


Координаты точки деления отрезка в данном отношении

На плоскости
   
В пространстве
   


$$\frac{AL}{LB}=\frac{m_{1}}{m_{2}};$$
$$x_{L}=\frac{m_{2}x_{A}+m_{1}x_{B}}{m_{1}+m_{2}};$$
$$y_{L}=\frac{m_{2}y_{A}+m_{1}y_{B}}{m_{1}+m_{2}}.$$
$$\frac{AL}{LB}=\frac{m_{1}}{m_{2}};$$
$$x_{L}=\frac{m_{2}x_{A}+m_{1}x_{B}}{m_{1}+m_{2}};$$
$$y_{L}=\frac{m_{2}y_{A}+m_{1}y_{B}}{m_{1}+m_{2}};$$
$$z_{L}=\frac{m_{2}z_{A}+m_{1}z_{B}}{m_{1}+m_{2}}.$$

Уравнения прямой на плоскости


Общее уравнение прямой
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Уравнение прямой в отрезках
$$ax+by+c=0$$$$a\ne0,~b\ne0$$
$$y=kx+b$$$$k = tg~\alpha $$
$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$$$$a\ne0,~b\ne0$$
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
Уравнение прямой с данным нормальным вектором и проходящей через данную точку
Уравнение прямой с данным направляющим вектором и проходящей через данную точку
$$\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{x-x_A}{x_B-x_A}$$
$$P(x-x_A)+Q(y-y_A)=0$$$$\overline{n}(P; Q)$$
$$\frac{x-x_A}{p}=\frac{y-y_A}{q}$$$$\overline{m}(p;q)$$
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно к данной прямой
Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой
Уравнение прямой, проходящей через начало отсчёта
$$\frac{y-y_A}{x-x_A}=-\frac{1}{k}$$
$$\frac{y-y_A}{x-x_A}=k$$
$$ax+by=0$$$$a\ne0,~b\ne0$$
Уравнение прямой,
параллельной оси Ох
Уравнение прямой,
параллельной оси Оу
$$by+c=0$$$$Ox:~y=0$$
$$ax+c=0$$$$Oy:~x=0$$

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых



$$m_1:~~~a_1x+b_1y+c=0;$$$$m_2:~~~a_2x+b_2y+c=0;$$
$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}$$
$$a_1 a_2+b_1 b_2=0$$
$$m_1:~~~y=k_1x+b_1;$$$$m_2:~~~y=k_2x+b_2;$$
$$k_1=k_2;~(b_1\ne b_2)$$
$$k_1 k_2=-1$$

Пересечение двух прямых


Уравнения прямых
$$m_1:~~~a_1x+b_1y+c=0;$$$$m_2:~~~a_2x+b_2y+c=0;$$
$$m_1:~~~y=k_1x+b_1;$$$$m_2:~~~y=k_2x+b_2;$$
Условие пересечения прямых
$$\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}$$
$$k_1\ne k_2$$
Координаты точки пересечения прямых
$$x_A=-\frac{c_1 b_2-c_2 b_1}{a_1 b_2-a_2 b_1}$$$$y_A=-\frac{a_1 c_2-a_2 c_1}{a_1 b_2-a_2 b_1}$$
$$x_A=\frac{b_2-b_1}{k_1-k_2}~~~~~~$$$$y_A=\frac{k_1 b_2-k_2 b_1}{k_1-k_2}$$
Угол между пересекающимися прямыми
$$tg~\alpha =\frac{a_1 b_2-a_2 b_1}{a_1 a_2+b_1 b_2}$$
$$tg~\alpha =\frac{k_2-k_1}{1+k_1 k_2}$$

Уравнение окружности



С центром в начале координат О(0; 0)
$$x^2+y^2=R^2$$
С центром в точке О(xO; yO)
$$(x-x_O)^2+(y-y_O)^2=R^2$$

Уравнение сферы



С центром в начале координат О(0; 0; 0)
$$x^2+y^2+z^2=R^2$$
С центром в точке О(xO; yO; zO
$$(x-x_O)^2+(y-y_O)^2+(z-z_O)^2=R^2$$

Уравнения плоскости


Общее уравнение плоскости:$$\alpha :~~ax+by+cz+d=0$$где первые три коэффициента равны координатам вектора $$\overline{n}(a; b; c)$$перпендикулярного к плоскости α и удовлетворяют условию$$a^2+b^2+c^2\ne0$$то есть, не равны нулю одновременно.


Уравнение плоскости, проходящей через точку L(xL; yL; zL) и перпендикулярной к вектору$$\overline{n}(a; b; c)$$$$\alpha :~~a(x-x_L)+b(y-y_L)+c(z-z_L)=0$$или$$\alpha :~~ax+by+cz=ax_L+by_L+cz_L.$$

Уравнение плоскости в отрезках:$$\alpha :~~\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1,$$где a, b, c — отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях (имеются в виду соответствующие координаты концов отрезков, а не их длины). При этом должно выполняться$$a\ne0,~b\ne0,~c\ne0.$$

Уравнение плоскости, проходящей через начало координат:$$\alpha :~~ax+by+cz=0$$

Уравнение плоскости, параллельной координатной оси:$$\alpha ||Ox:~~by+cz+d=0;$$$$\alpha ||Oy:~~ax+cz+d=0;$$$$\alpha ||Oz:~~ax+by+d=0.$$


Уравнение плоскости, проходящей через координатную ось:$$Ox\subset\alpha :~~by+cz=0;$$$$Oy\subset\alpha :~~ax+cz=0;$$$$Oz\subset\alpha :~~ax+by=0.$$

Уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости и самих координатных плоскостей:$$\alpha ||Oxy:~~cz+d=0;~~~~~Oxy:~~z=0;$$$$\alpha ||Oxz:~~by+d=0;~~~~~Oxz:~~y=0;$$$$\alpha ||Oyz:~~ax+d=0;~~~~~Oyz:~~x=0.$$

Взаимное расположение двух плоскостей

$$\alpha_1 :~~a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0$$$$\alpha_2 :~~a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$$



Условие параллельности плоскостей: $$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}.$$При$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=\frac{d_1}{d_2}$$плоскости совпадают.


Условие перпендикулярности плоскостей: $$a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0.$$


Угол между плоскостями (меньший из возможных):$$\cos \varphi =\frac{|a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}.$$

      Смотрите также:

Обозначения и сокращения

Таблицы чисел

Алгебраические тождества

Степени

Арифметический корень n-й степени

Логарифмы

Графики элементарных функций

Построение графиков функций геометрическими методами

Тригонометрия

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Таблицы значений тригонометрических функций

Предел и непрерывность функции

Производная

Первообразная и интегралы

Треугольники

Четырёхугольники

Многоугольники

Окружность

Площади геометрических фигур

Прямые и плоскости

Многогранники

Тела вращения

 

Группа Математика для школы|math4school.ru ВКонтакте

Давно собирался и вот, наконец! Примерно так выглядит история нашей группы ВКонтакте. Сомнения в необходимости её существования отброшены, и первые материалы сообщества уже выложены.

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.