Math    schooL

 

 

Декартова система координат

 

Координаты на плоскости и в пространстве

Расстояние между точками

Координаты середины отрезка

Координаты точки деления отрезка в данном отношении

Уравнения прямой на плоскости

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Пересечение двух прямых

Уравнение окружности

Уравнение сферы

Уравнения плоскости

Взаимное расположение двух плоскостей


Координаты на плоскости и в пространстве


Ось — прямая линия с указанным на ней направлением.

Ось координат — ось, на которой заданы начало отсчёта (начало координат), единичный отрезок, и каждому действительному числу соответствует определённая единственная точка.


На плоскости

Декартова (прямоугольная) система координат — две взаимно перпендикулярные оси координат (ось абсцисс Ox и ось ординат Oy) с общим началом отсчёта.

Каждой точке А координатной плоскости ставится в соответствие пара чисел (xA; yA) — координаты проекций точки на соответствующие оси координат.

Ax(xA; 0) — проекция точки А на координатную ось Ox;
Ay (0; yA) проекция точки А на координатную ось .

В пространстве

Декартова (прямоугольная) система координат — три взаимно перпендикулярные оси координат (ось абсцисс Ox, ось ординат Oy и ось аппликат Oz) с общим началом отсчёта.

Каждой точке А координатного пространства ставится в соответствие тройка чисел (xA; yA; zA) координаты проекций точки на соответствующие оси координат.

Ax (xA; 0; 0) — проекция точки А на координатную ось Ox;
Ay (0; yA; 0) — проекция точки А на координатную ось ;
Az (0; 0; zA) — проекция точки А на координатную ось Oz;
Axy (xA; yA; 0) — проекция точки А на плоскость Oxy;
Axz (xA; 0; zA) — проекция точки А на плоскость Oxz;
Ayz ( 0; yA; zA) — проекция точки А на плоскость Oyz.


Расстояние между точками

На плоскости
   
В пространстве
   


$$AB=\sqrt{\left ( x_{A}-x_{B} \right )^2+\left ( y_{A}-y_{B} \right )^2}$$
$$AB=\sqrt{\left ( x_{A}-x_{B} \right )^2+\left ( y_{A}-y_{B} \right )^2+\left ( z_{A}-z_{B} \right )^2}$$
Общее правило вычисления расстояния между точками (длины отрезка): 

Расстояние между точками равно корню квадратному из суммы квадратов разностей их соответствующих координат.


Координаты середины отрезка

На плоскости
   
В пространстве
   


$$x_{C}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2};$$
$$y_{C}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}.$$
$$x_{C}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2};$$
$$y_{C}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2};$$
$$z_{C}=\frac{z_{A}+z_{B}}{2}.$$
Общее правило вычисления координат середины отрезка: 

Координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат его концов.


Координаты точки деления отрезка в данном отношении

На плоскости
   
В пространстве
   


$$\frac{AL}{LB}=\frac{m_{1}}{m_{2}};$$
$$x_{L}=\frac{m_{2}x_{A}+m_{1}x_{B}}{m_{1}+m_{2}};$$
$$y_{L}=\frac{m_{2}y_{A}+m_{1}y_{B}}{m_{1}+m_{2}}.$$
$$\frac{AL}{LB}=\frac{m_{1}}{m_{2}};$$
$$x_{L}=\frac{m_{2}x_{A}+m_{1}x_{B}}{m_{1}+m_{2}};$$
$$y_{L}=\frac{m_{2}y_{A}+m_{1}y_{B}}{m_{1}+m_{2}};$$
$$z_{L}=\frac{m_{2}z_{A}+m_{1}z_{B}}{m_{1}+m_{2}}.$$

Уравнения прямой на плоскости


Общее уравнение прямой
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Уравнение прямой в отрезках
$$ax+by+c=0$$$$a\ne0,~b\ne0$$
$$y=kx+b$$$$k = tg~\alpha $$
$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$$$$a\ne0,~b\ne0$$
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
Уравнение прямой с данным нормальным вектором и проходящей через данную точку
Уравнение прямой с данным направляющим вектором и проходящей через данную точку
$$\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{x-x_A}{x_B-x_A}$$
$$P(x-x_A)+Q(y-y_A)=0$$$$\overline{n}(P; Q)$$
$$\frac{x-x_A}{p}=\frac{y-y_A}{q}$$$$\overline{m}(p;q)$$
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно к данной прямой
Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой
Уравнение прямой, проходящей через начало отсчёта
$$\frac{y-y_A}{x-x_A}=-\frac{1}{k}$$
$$\frac{y-y_A}{x-x_A}=k$$
$$ax+by=0$$$$a\ne0,~b\ne0$$
Уравнение прямой,
параллельной оси Ох
Уравнение прямой,
параллельной оси Оу
$$by+c=0$$$$Ox:~y=0$$
$$ax+c=0$$$$Oy:~x=0$$

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых



$$m_1:~~~a_1x+b_1y+c=0;$$$$m_2:~~~a_2x+b_2y+c=0;$$
$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}$$
$$a_1 a_2+b_1 b_2=0$$
$$m_1:~~~y=k_1x+b_1;$$$$m_2:~~~y=k_2x+b_2;$$
$$k_1=k_2;~(b_1\ne b_2)$$
$$k_1 k_2=-1$$

Пересечение двух прямых


Уравнения прямых
$$m_1:~~~a_1x+b_1y+c=0;$$$$m_2:~~~a_2x+b_2y+c=0;$$
$$m_1:~~~y=k_1x+b_1;$$$$m_2:~~~y=k_2x+b_2;$$
Условие пересечения прямых
$$\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}$$
$$k_1\ne k_2$$
Координаты точки пересечения прямых
$$x_A=-\frac{c_1 b_2-c_2 b_1}{a_1 b_2-a_2 b_1}$$$$y_A=-\frac{a_1 c_2-a_2 c_1}{a_1 b_2-a_2 b_1}$$
$$x_A=\frac{b_2-b_1}{k_1-k_2}~~~~~~$$$$y_A=\frac{k_1 b_2-k_2 b_1}{k_1-k_2}$$
Угол между пересекающимися прямыми
$$tg~\alpha =\frac{a_1 b_2-a_2 b_1}{a_1 a_2+b_1 b_2}$$
$$tg~\alpha =\frac{k_2-k_1}{1+k_1 k_2}$$

Уравнение окружности



С центром в начале координат О(0; 0)
$$x^2+y^2=R^2$$
С центром в точке О(xO; yO)
$$(x-x_O)^2+(y-y_O)^2=R^2$$

Уравнение сферы



С центром в начале координат О(0; 0; 0)
$$x^2+y^2+z^2=R^2$$
С центром в точке О(xO; yO; zO
$$(x-x_O)^2+(y-y_O)^2+(z-z_O)^2=R^2$$

Уравнения плоскости


Общее уравнение плоскости:$$\alpha :~~ax+by+cz+d=0$$где первые три коэффициента равны координатам вектора $$\overline{n}(a; b; c)$$перпендикулярного к плоскости α и удовлетворяют условию$$a^2+b^2+c^2\ne0$$то есть, не равны нулю одновременно.


Уравнение плоскости, проходящей через точку L(xL; yL; zL) и перпендикулярной к вектору$$\overline{n}(a; b; c)$$$$\alpha :~~a(x-x_L)+b(y-y_L)+c(z-z_L)=0$$или$$\alpha :~~ax+by+cz=ax_L+by_L+cz_L.$$

Уравнение плоскости в отрезках:$$\alpha :~~\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1,$$где a, b, c — отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях (имеются в виду соответствующие координаты концов отрезков, а не их длины). При этом должно выполняться$$a\ne0,~b\ne0,~c\ne0.$$

Уравнение плоскости, проходящей через начало координат:$$\alpha :~~ax+by+cz=0$$

Уравнение плоскости, параллельной координатной оси:$$\alpha ||Ox:~~by+cz+d=0;$$$$\alpha ||Oy:~~ax+cz+d=0;$$$$\alpha ||Oz:~~ax+by+d=0.$$


Уравнение плоскости, проходящей через координатную ось:$$Ox\subset\alpha :~~by+cz=0;$$$$Oy\subset\alpha :~~ax+cz=0;$$$$Oz\subset\alpha :~~ax+by=0.$$

Уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости и самих координатных плоскостей:$$\alpha ||Oxy:~~cz+d=0;~~~~~Oxy:~~z=0;$$$$\alpha ||Oxz:~~by+d=0;~~~~~Oxz:~~y=0;$$$$\alpha ||Oyz:~~ax+d=0;~~~~~Oyz:~~x=0.$$

Взаимное расположение двух плоскостей

$$\alpha_1 :~~a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0$$$$\alpha_2 :~~a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$$



Условие параллельности плоскостей: $$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}.$$При$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=\frac{d_1}{d_2}$$плоскости совпадают.


Условие перпендикулярности плоскостей: $$a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0.$$


Угол между плоскостями (меньший из возможных):$$\cos \varphi =\frac{|a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}.$$

      Смотрите также:

Обозначения и сокращения

Таблицы чисел

Алгебраические тождества

Степени

Арифметический корень n-й степени

Логарифмы

Графики элементарных функций

Построение графиков функций геометрическими методами

Тригонометрия

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Таблицы значений тригонометрических функций

Предел и непрерывность функции

Производная

Первообразная и интегралы

Треугольники

Четырёхугольники

Многоугольники

Окружность

Площади геометрических фигур

Прямые и плоскости

Многогранники

Тела вращения

 

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Новый раздел на сайте math4school.ru

Закончена работа над новым разделом сайта Работа над ошибками.

Союз образовательных сайтов