Math    schooL

 

 

Цифры и десятичная система счисления

 

Цифры и десятичная система счисления

 

Немного теории

В задачах, где речь идет о цифрах в десятичной записи натурального числа

A = an10n + an–110n–1 + . . . + a110 + a0

(эта запись иногда обозначается через ) используются разнообразные соображения: делимость целых чисел, алгебраические преобразования, оценки. В частности, полезен признак делимости на 3 и на 9, а также следующее его уточнение: число А дает при делении на 9 (и на 3) тот же остаток, что и сумма его цифр. Разность

А – (an + an–1 + . . . + a1 + a0) = an(10n –1) + an–1(10n–1 –1) + . . . + a1(10 –1)

очевидно, делится на 9 (и на 3).

Иногда оказывается полезной запись натурального числа А в системе счисления с основанием q:

A = anqn + an–1qn–1 + . . . + a1q + a0,

где целые положительные ai < q – «цифры» этой системы счисления.

 

Задачи с решениями

1. Сколько существует целых положительных:

    а) двузначных чисел, цифры которых расположены в убывающем порядке;

    б) двузначных чисел, цифры которых расположены в невозрастающем порядке;

    в) восьмизначных чисел, цифры которых расположены в убывающем порядке;

    г) чисел, меньших 1000, которые записываются различными цифрами;

    д) трёхзначных чисел, цифры которых расположены в возрастающем порядке?

а) Двузначных чисел 90. Числа 11, 22, … , 99 отбрасываем. Среди оставшихся 81 чисел присутствуют такие 9 чисел, это 10, 20, … , 90, которые нам подходят, но которые при перестановке местами цифр перестают быть двузначными. Запомним эти 9 чисел и вычтем из 81. Оставшиеся 72 числа записываются различными, отличными от 0 цифрами, и половина из них имеет цифры, расположенные в убывающем порядке. Количество искомых чисел: 36+9=45.

Ответ: 45.

б) К таким числам относятся числа, цифры которых записаны в убывающем порядке, и числа, обе цифры которых одинаковые. Первых, как мы установили выше, 45, вторых – 9. Количество искомых чисел: 45+9=54.

Ответ: 54.

в) Выпишем в ряд все 10 цифр в убывающем порядке. Если в этом ряде вычеркнуть какие-либо две цифры, то получим восьмизначное число, цифры которого идут в убывающем порядке. Этому числу соответствует двузначное число, образованное вычеркнутыми цифрами. Таким образом, между элементами множества двузначных чисел, цифры которых расположены в убывающем порядке, и элементами множества восьмизначных чисел, цифры которых расположены в убывающем порядке, установлено взаимно однозначное соответствие. Поэтому и тех и других равное количество, по 45.

Ответ: 45.

г) I способ. Положительных целых однозначных чисел 9, двузначных, записанных разными цифрами, как установлено ранее, – 81. Определим количество трёхзначных положительных целых чисел записанных различными цифрами. Если к двузначному числу приписать в конце цифру, ранее не использованную в его записи, то получим трёхзначное число с разными цифрами. Одно двузначное может дать, таким образом, восемь трёхзначных. Всего же таких двузначных чисел – 81. Значит, искомое количество трёхзначных чисел, записанных разными цифрами, равно 81·8=648. Количество искомых чисел: 9+81+648=738.

II способ. Подсчитаем количество чисел, в записи которых хотя бы одна цифра повторяется, и вычтем его из 999. Среди однозначных чисел таких нет, среди двузначных их 9 – 11, 22, … , 99. Чисел с тремя одинаковыми цифрами тоже 9 – 111, 222, … , 999. Учтём сразу ещё 9 чисел – 100, 200, ... , 900. Найдём количество трёхзначных чисел с двумя повторяющимися ненулевыми цифрами, для чего попробуем их построить. Из числа вида kk можно получить нужное нам трёхзначное, если:

    приписать перед kk любую цифру, кроме 0 и k – 8 способов;

    приписать между k и k любую цифру, кроме k – 9 способов;

    приписать после kk любую цифру, кроме k – 9 способов.

Так как k принимает девять значений, то из kk получим 9·(8+9+9)=234 чисел. Таким образом, чисел меньших 1000, в записи которых хотя бы одна цифра повторяется: 9+9+9+234=261. Количество искомых чисел: 999–261=738.

Ответ: 738.

д) Отметим сразу очевидное, в таких числах отсутствует цифра 0. Вычтем из 648 трёхзначных чисел, которые записываются различными цифрами те, которые имеют 0. Выше отмечалось, что существует 72 числа, которые записываются различными, отличными от 0 цифрами. Каждое из этих чисел даст трёхзначное число с цифрой 0 после записи 0 между его цифрами или в конце числа. Таким образом, существует 648–72·2=504 трёхзначных числа, в записи каждого из которых используются три различных числа, отличных от 0.

Так как из трёх различных, не равных 0 цифр можно записать шесть различных трёхзначных чисел, только в одном из которых цифры расположены по возрастанию, то количество искомых чисел равно шестой части от 504, а именно: 84

Ответ: 84.

 

2. Какова сумма всех цифр, используемых при записи всех чисел, первое из которых единица, а последнее миллиард?

Добавляя ноль, мы можем образовать полмиллиарда пар чисел:

(0; 999999999), (1; 999999998), (2; 999999997), . . . , (499999998; 500000001), (499999999; 500000000).

Сумма цифр в каждой паре равна 9 · 9 = 81. Если добавить 1 в сумму цифр для неучтённого при этом числа 1 000 000 000, то мы получаем сумму совсем просто:

500 000 000 · 81 + 1 = 40 500 000 001.

Ответ: 40 500 000 001.

 

3. Докажите, что число 11…1, записанное 2013 единицами, делится на 37 .

Число, состоящее из 2013 единиц, можно записать следующим образом:

111·102010 + 111·102007 + . . . +111·103 + 111 = 111·(102010 + 102007 + . . . + 103 + 1).

Так как 111 кратно 37, то и всё число кратно 37.

  

4. Докажите, что

Верны следующие два равенства:

Поэтому

Следовательно,

 

5. Докажите, что:

а) число 11...1211...1, состоящее из 100 единиц слева и 100 единиц справа от единственной двойки, является составным;

б) число 11...1122…22, состоящее из 100 единиц и 100 двоек есть произведение двух последовательных целых чисел.

а) Действительно,

Откуда и следует справедливость доказываемого утверждения.

б) Действительно,

что и требовалось доказать.

  

6. Можно ли все десятизначные числа, записываемые при помощи 1 и 2, разбить на две группы так, чтобы сумма двух любых чисел из одной группы содержала в своей десятичной записи не менее двух троек?

Поместим в одну группу числа, в записи которых чётное число единиц, в другую – числа с нечётным числом единиц. Если А и В – два числа из одной группы, то, поскольку это разные числа, в некотором разряде у них стоят разные цифры – 1 и 2, сумма которых даёт одну тройку. Но количество единиц в обоих числах имеет одинаковую чётность, поэтому не могут совпадать цифры в остальных, то есть найдется еще разряд с разными цифрами, сумма которых даст вторую тройку.

Ответ: Можно.

 

7. В некотором натуральном числе произвольно переставлены цифры. Докажите, что сумма полученного числа с исходным не равна 99…9 (число содержит 2013 девяток).

Очевидно, что исходное число имеет 2013 цифр. Пусть а1, а2, . . . , а2013 – цифры исходного числа, b1, b2, . . . , b2013 – цифры изменённого числа. Предположим, что

а1 + b1 = 9,

а2 + b2 = 9,

 . . .

а2013 + b2013 = 9.

Так как сумма цифр исходного и изменённого числа одна и та же, то

2 · (а1 + а2 + . . . + а2013) = 9 · 2013,

чего не может быть, так как в правой и левой частях равенства стоят числа разной четности.

 

8. Рассматриваются всевозможные семизначные числа с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, записанные в произвольном порядке. Доказать, что ни одно из этих чисел не делится ни на какое другое.

Пусть число m1, составленное из данных чисел, делится на число m2 (m1 > m2). Тогда и m1 – m2 делится на m2. Так как разность двух чисел с одинаковой суммой цифр делится на 9, числа 9 и m2 взаимно просты, то m1 – m2 делится на 9m2. Но 9m2 – число восьмизначное. Полученное противоречие, опровергает сделанное предположение о том, что m1 делится на m2. Доказательство окончено.

  

9. Каковы три последние цифры числа 79999?

Заметим, что 74 = 2401. Поэтому

74n = 2401n = (1 + 2400)n = 1 + n·2400 + А,

где все члены этого биномиального разложения после второго, объединённые нами в одном слагаемом А, оканчиваются по крайней мере на четыре нуля и не влияют на последние три цифры результата. Эти последние определяются из равенства

1 + n·2400 = 24n·100 + 1.

Если m – последняя цифра числа 24n, то имеем

24n·100 + 1 = ...m·100 + 1 = ...m01,

то есть 74n оканчивается на m01.

При n = 2499 число 24n оканчивается на 6 и мы видим, что 74n = 79996 оканчивается на 601. Так как 73 = 343, то мы получаем

79999 = 79996 · 73 = ...601·343 = ...143.

143 и есть искомые последние три цифры, которые мы получаем непосредственным умножением.

Ответ: 79999 = ...143.

  

10. Докажите, что существует число, делящееся на 51000 и не содержащее в своей записи ни одного нуля.

Число 51000 оканчивается на 5. Пусть в десятичной записи этого числа на k-м месте, считая от конца, стоит 0, а все следующие цифры отличны от 0. Прибавим к этому числу 51000·10k–1. В результате получится число, делящееся на 51000, у которого отличны от нуля последние k цифр. Продолжая эту процедуру, можно получить число, у которого последние 1000 цифр отличны от нуля. Теперь отбросим все цифры, кроме 1000 последних. Полученное число, очевидно, тоже делится на 51000.

  

Задачи без решений

  

1. Сколько существует целых положительных:

    а) трёхзначных чисел, первая цифра которых больше двух остальных, а вторая – меньше третьей;

    б) четырёхзначных чисел, которые делятся на 4, и в записи которых нет цифр 3, 0, 8?

  

2. В десятизначном числе N первая цифра совпадает с количеством единиц в записи числа N, вторая – с количеством двоек, третья – троек, ... , десятая – с количеством нулей. Найдите число N. 

  

3. Найдите все значения n при которых (n+1)-значное число 144...4 является квадратом натурального числа. 

  

4. У каждого из чисел от 1 до 1 000 000 000 подсчитывается сумма его цифр, у каждого из получившегося миллиарда чисел снова подсчитывается сумма цифр и так далее до тех пор, пока не получится миллиард однозначных чисел. Каких чисел получится больше: 1 или 2?. 

  

5. На карточках написаны все пятизначные числа от 11111 до 99999 включительно. Затем эти карточки положены в одну цепочку в произвольном порядке. Докажите, что получившееся 444445-значное число не может быть степенью двойки.

 

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Новый раздел на сайте math4school.ru

Закончена работа над новым разделом сайта Работа над ошибками.

Союз образовательных сайтов