Math    schooL

 

 

Число 12.  Замечательно!

 

Двенадцать стульев.

 

Если большим пальцем руки сосчитать число фаланг на других пальцах этой руки, то мы получим 12 – замечательное число, столь же популярное у некоторых народов, как и число 10. Именно с помощью фаланг пальцев считали в Древнем Шумере, родине двенадцатеричной системы счисления.  Фаланги пальцев использовались как простейшие счёты. Текущее состояние счёта засекалось большим пальцем, вместо загибания пяти пальцев одной руки пальцем другой, принятого в европейской цивилизации.

Двенадцатеричными дробями пользовались ещё древние римляне. Стандартной дробью была двенадцатая часть, 1/12, – унция. Некоторые народы Нигерии и Тибета используют двенадцатеричную систему счисления в настоящее время.

Число 12 в качестве основания счёта весьма удобно, ведь оно делится без остатка на 2, 3, 4 и 6, в то время как число 10 – основание десятичной системы счисления – делится нацело лишь на 2 и 5. Как удобно дробить число, когда половина, треть, четверть и шестая его части должны быть целыми числами!

А если выраженное в двенадцатеричной системе число оканчивается двумя нулями, то оно должно делиться без остатка на число 144, а следовательно, и на все его множители, т.е. на следующий длинный ряд чисел:

2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144.

Четырнадцать делителей – вместо тех восьми, которые имеют числа, написанные в десятичной системе, если оканчиваются двумя нулями:

2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.

В нашей системе только дроби (с 1 в числителе) вида

1/2, 1/4, 1/5, 1/8, 1/10, 1/16, 1/20

и так далее, превращаются в конечные десятичные.  В двенадцатеричной же системе можно написать без знаменателя гораздо более разнообразные аналогичные дроби. Например, дроби:

1/2, 1/3, 1/4, 1/6, 1/8, 1/9, 1/12, 1/16, 1/18, 1/24, 1/36, 1/48, 1/72, 1/144,

соответственно изобразятся так:

0,6;  0,4;  0,3;  0,2;  0,18;  0,16;  0,1;  0,09;  0,08;  0,06; 0,04;  0,03;  0,02;  0,01.

Группы по 12 предметов именуются дюжинами. Впервые в русском языке слово дюжина упоминается с 1720 года. Первоначально оно использовалось моряками. Слово произошло от латинского слова duodecim (duo – два и decim – десять).

Дюжина дюжин, то есть 122 = 144, составляла гросс (от немецкого  groß – большой), а дюжина гроссов – массу, 123 = 1728.

Эти меры широко использовались до введения в обиход метрической системы. Например, гроссы применялись при счёте мелких галантерейных и канцелярских предметов – карандашей, пуговиц, писчих перьев и т.п. В современном русском языке сохранилось в составе многих выражений число масса, используемое в значении "очень много": "масса дел", "масса людей", "масса вопросов".

Столь широкое использование числа 12 в качестве основания счёта, вызвано арифметическими особенностями чисел в двенадцатеричной системе и, прежде всего, их более "богатой", в сравнении с десятичной системой, делимостью.

Было бы, однако, большим заблуждением думать, что делимость числа может зависеть от того, в какой системе счисления оно изображено. Если орехи, заключающиеся в данном мешке, могут быть разложены в 5 одинаковых кучек, то это свойство их, конечно, не изменится от того, будет ли наше число орехов выражено в той или иной системе счисления, или отложено на счетах, или написано прописью, или, наконец, изображено каким-либо иным способом.

Если число, написанное в двенадцатеричной системе, делится на 6 или на 72, то, будучи выражено в другой системе счисления, например, в десятичной, оно должно иметь те же делители. Разница лишь в том, что в двенадцатеричной системе делимость на 6 или на 72 легче обнаружить (число оканчивается одним или двумя нулями). Когда говорят о преимуществах двенадцатеричной системы в смысле делимости на большое число делителей, то имеют в виду, что благодаря склонности нашей «к круглым» числам, на практике будут чаще встречаться числа, оканчивающиеся, в двенадцатеричной системе, нулями.

При таких преимуществах двенадцатеричной системы неудивительно, что среди математиков раздавались голоса за полный переход на эту систему.

Переход на двенадцатеричную систему счисления предлагался неоднократно. В XVII веке её сторонником был знаменитый французский естествоиспытатель Бюффон. Вольтер в "Истории Карла XII" (это тот самый король Швеции, войска которого были разбиты под Полтавой) утверждает, что этот монарх готовил указ о переходе на двенадцатеричную систему.

Во времена Великой французской революции была учреждена "Революционная комиссия по весам и мерам", которая длительный период рассматривала подобный проект, однако усилиями Лагранжа и других противников реформы дело удалось свернуть.

Великий французский математик Лаплас так в своё время высказался по этому вопросу:

Основание нашей системы нумерации не делится на 3 и на 4, то есть на два делителя, весьма употребительные по их простоте. Присоединение двух новых знаков (цифр) дало бы системе счисления это преимущество; но такое нововведение было бы, несомненно, отвергнуто. Мы потеряли бы выгоду, породившую нашу арифметику, – именно, возможность счета по пальцам рук.

Несмотря на нашу приверженность метрической системе, число 12 прочно вошло в обиход.

В своё время не кто иной, как упомянутый Лаплас, был горячим сторонником перехода  в измерении дуг окружностей от градусов, минут и секунд к новым, десятичным. Его знаменитая книга "Изложение системы мира" последовательно проводит десятичное подразделение углов: градусом он называет не 1/90, а 1/100 долю прямого угла, минутой – 1/100 часть градуса и т.д. Лаплас высказался даже за десятичное подразделение часов и минут.

Однообразие системы мер требует, чтобы день был разделен на 100 часов, час на 100 минут и минута на 100 секунд,

– писал он. Но этим предложениям, как мы видим, не суждено было воплотиться в реальность. В противном случае мы бы писали:

sin 33,333...° = 1/2,

вместо привычного

sin 30° = 1/2.

Приверженцы числа 12 в качестве основания счёта не сдаются. В 1944 году было организовано "Американское двенадцатеричное общество"  а в 1959 году – "Английское двенадцатеричное общество", объединившие активных сторонников одноимённой системы счисления. Однако, главным аргументом против этого всегда служили не математические аргументы в пользу десятичной системы счисления, а огромные затраты и неизбежная путаница при переходе.

Дюжина применяется до сих пор при комплектации, например, сервизов, столовых ложек, вилок и ножей, больших гарнитуров мебели, которые выпускаются почти всегда на 12 или 6 (полудюжина) персон. Пиво упаковывается по 6, 12 или 24 (2 дюжины) бутылок или банок. В сутках две дюжины часов, в часе 5 дюжин минут, в минуте столько же секунд. Даже круг мы делим на 30 дюжин градусов.

Влияние числа 12 ощущается в англо-американской системе мер, в которой

1 фут (30,48 см) равен 12 дюймам,

1 дюйм (2,54 см) – 12 линиям,

1 линия (2,12 мм) – 6 точкам, 

1 шиллинг – 12 английским пенни (пенсам).

Многие предметы: пуговицы, платки, куриные яйца и тому подобное, – в западноевропейских странах и США до сих пор продаются дюжинами. 

 

Источники: Энциклопедия для детей. Математика. Том 11 (Москва, "Аванта", 2001); Я.И. Перельман. Занимательная арифметика (Москва, «Триада–литера», 1994) и Википедия.

 

  <<< Назад

 

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Новый раздел на сайте math4school.ru

Закончена работа над новым разделом сайта Работа над ошибками.

Союз образовательных сайтов