Math    schooL

 

 

Буддистский монах в фиксированной точке

 

Буддистский монах в фиксированной точке

Постановка задачи 

Однажды утром, ровно на восходе солнца, буддистский монах начал подниматься на высокую гору. Узкая тропинка шириной всего фут или два извивалась вокруг горы, ведя к храму, стоящему на самой вершине. 

Поднимаясь, монах шел по тропинке с переменной скоростью, много раз останавливался по пути, чтобы отдохнуть и съесть сушеный плод, который он нес с собой. Он достиг храма почти перед самым закатом. После нескольких дней поста и медитации, монах тронулся в обратный путь. Он опять вышел ровно на восходе солнца, шел по той же дорожке, двигался с переменной скоростью, часто отдыхал в пути. Средняя скорость его спуска была, конечно же, выше средней скорости подъема. 

Докажите, что на этой дорожке есть место, куда монах попадет в обоих случаях точно в одно и то же время дня.

 

Доказательство

Итак, человек поднимается в гору в один день, а спускается в другой. Есть ли на этой дороге место, в котором он окажется в одно и то же время дня в обоих случаях?

Эта задача взята из книги Мартина Гарднера (1914 – 2010) "Новые математические развлечения". На эту задачу внимание автора обратил психолог Рэй Химан из Орегонского университета, который в свою очередь обнаружил ее в монографии "Вопросы и ответы" (On Problem-Solving) немецкого психолога Карла Дункера. Дункер пишет о том, что он не смог сразу решить эту задачу, но потом с удовольствием наблюдал, как другие люди, которым он предлагал эту головоломку, сталкивались с похожими трудностями. Есть много способов доказательства, продолжает он, но вероятно нет более очевидного, чем следующий.

Пусть подъем и спуск осуществляют два человека в один и тот же день. Они должны встретиться. Следовательно, в таком подходе нечеткие и плохо понятные условия сразу превращаются в ясную как день ситуацию.

Решение, безусловно, остроумное. Дадим ему математическую иллюстрацию. Рассмотрим прямоугольную систему координат, в которой вдоль оси абсцисс будем откладывать время, в течение которого монах был в пути, а вдоль оси ординат – некоторую условную координату, выражающую месторасположение монаха на тропинке. При этом ноль на оси ординат соответствует подножию горы и при подъеме и при спуске, а ноль на оси абсцисс – началу пути в обоих случаях.

Графическое решение задачи о буддистском монахе в фиксированной точке.

В такой системе координат подъему монаха соответствует график некоторой монотонной неубывающей функции s1(t), а спуску – график монотонной невозрастающей функции s2(t), которые, как видно из рисунка обязательно пересекаются. Точка с координатами (T; S) как раз соответствует моменту времени Т, в который и при подъеме, и при спуске монах окажется в одном и том же месте S.

Отметим, что место, в котором путник окажется в одно и то же время дня в обоих случаях единственно, а вот момент времени, вообще говоря, – нет. Этому соответствует случай, когда графики s1(t) и s2(t) "пересекутся" горизонтальными участками, которые соответствуют остановкам.

 

  <<< Назад

 

     Смотрите так же:

Логические задачи

 

Группа Математика для школы|math4school.ru ВКонтакте

Давно собирался и вот, наконец! Примерно так выглядит история нашей группы ВКонтакте. Сомнения в необходимости её существования отброшены, и первые материалы сообщества уже выложены.

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Союз образовательных сайтов