Math    schooL

 

 

Буддистский монах в фиксированной точке

 

Буддистский монах в фиксированной точке

Постановка задачи 

Однажды утром, ровно на восходе солнца, буддистский монах начал подниматься на высокую гору. Узкая тропинка шириной всего фут или два извивалась вокруг горы, ведя к храму, стоящему на самой вершине. 

Поднимаясь, монах шел по тропинке с переменной скоростью, много раз останавливался по пути, чтобы отдохнуть и съесть сушеный плод, который он нес с собой. Он достиг храма почти перед самым закатом. После нескольких дней поста и медитации, монах тронулся в обратный путь. Он опять вышел ровно на восходе солнца, шел по той же дорожке, двигался с переменной скоростью, часто отдыхал в пути. Средняя скорость его спуска была, конечно же, выше средней скорости подъема. 

Докажите, что на этой дорожке есть место, куда монах попадет в обоих случаях точно в одно и то же время дня.

 

Доказательство

Итак, человек поднимается в гору в один день, а спускается в другой. Есть ли на этой дороге место, в котором он окажется в одно и то же время дня в обоих случаях?

Эта задача взята из книги Мартина Гарднера (1914 – 2010) "Новые математические развлечения". На эту задачу внимание автора обратил психолог Рэй Химан из Орегонского университета, который в свою очередь обнаружил ее в монографии "Вопросы и ответы" (On Problem-Solving) немецкого психолога Карла Дункера. Дункер пишет о том, что он не смог сразу решить эту задачу, но потом с удовольствием наблюдал, как другие люди, которым он предлагал эту головоломку, сталкивались с похожими трудностями. Есть много способов доказательства, продолжает он, но вероятно нет более очевидного, чем следующий.

Пусть подъем и спуск осуществляют два человека в один и тот же день. Они должны встретиться. Следовательно, в таком подходе нечеткие и плохо понятные условия сразу превращаются в ясную как день ситуацию.

Решение, безусловно, остроумное. Дадим ему математическую иллюстрацию. Рассмотрим прямоугольную систему координат, в которой вдоль оси абсцисс будем откладывать время, в течение которого монах был в пути, а вдоль оси ординат – некоторую условную координату, выражающую месторасположение монаха на тропинке. При этом ноль на оси ординат соответствует подножию горы и при подъеме и при спуске, а ноль на оси абсцисс – началу пути в обоих случаях.

Графическое решение задачи о буддистском монахе в фиксированной точке.

В такой системе координат подъему монаха соответствует график некоторой монотонной неубывающей функции s1(t), а спуску – график монотонной невозрастающей функции s2(t), которые, как видно из рисунка обязательно пересекаются. Точка с координатами (T; S) как раз соответствует моменту времени Т, в который и при подъеме, и при спуске монах окажется в одном и том же месте S.

Отметим, что место, в котором путник окажется в одно и то же время дня в обоих случаях единственно, а вот момент времени, вообще говоря, – нет. Этому соответствует случай, когда графики s1(t) и s2(t) "пересекутся" горизонтальными участками, которые соответствуют остановкам.

 

  <<< Назад

 

     Смотрите так же:

Логические задачи

 

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Новый раздел на сайте math4school.ru

Закончена работа над новым разделом сайта Работа над ошибками.

Союз образовательных сайтов