Math    schooL

 

 

Арифметическая и геометрическая прогрессии

 

Числовые последовательности (основные понятия)

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Связь арифметической и геометрической прогрессий

  

Числовые последовательности (основные понятия)

Если каждому натуральному числу n поставить в соответствие действительное число an, то говорят, что задано числовую последовательность:

a1a2a3, . . . , an, . . .  .

Итак, числовая последовательность — функция натурального аргумента.

Число a1 называют первым членом последовательности, число a2вторым членом последовательности, число a3третьим и так далее. Число an называют n-м членом последовательности, а натуральное число nего номером.

Из двух соседних членов an и an+1 последовательности член an+1 называют последующим (по отношению к an), а aпредыдущим (по отношению к an+1).

Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Часто последовательность задают с помощью формулы n-го члена, то есть формулы, которая позволяет определить член последовательности  по его номеру.

 Например,

последовательность положительных нечётных чисел можно задать формулой

a2n –1,

а последовательность чередующихся 1 и –1 — формулой

b(–1)n+1        

Последовательность можно определить рекуррентной формулой, то есть формулой, которая выражает любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько) члены.

 Например,

если  a1 = 1,  а  an+1 = an + 5, то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

a1 = 1,

a2 = a1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a3 = a2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a4 = a3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a5 = a4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Если  а= 1,  а2 = 1,  an+2 = an + an+1,  то первые семь членов числовой последовательности устанавливаем следующим образом:

a1 = 1,

a2 = 1,

a3 = a1 + a2 = 1 + 1 = 2,

a4 = a2 + a3 = 1 + 2 = 3,

a5 = a3 + a4 = 2 + 3 = 5,

a6 = a4 + a5 = 3 + 5 = 8,

a7 = a5 + a6 = 5 + 8 = 13.

Последовательности могут быть конечными и бесконечными.

Последовательность называется конечной, если она имеет конечное число членов. Последовательность называется бесконечной, если она имеет бесконечно много членов.

 Например,

последовательность двузначных натуральных чисел:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

конечная.

Последовательность простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

бесконечная.

Последовательность называют возрастающей, если каждый её член, начиная со второго, больше чем предыдущий.

Последовательность называют убывающей, если каждый её член, начиная со второго, меньше чем предыдущий.

 Например,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — возрастающая последовательность;

1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . , 1/n, . . . — убывающая последовательность.

Последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают, называется монотонной последовательностью

Монотонными последовательностями, в частности, являются возрастающие последовательности и убывающие последовательности.

   

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, к которому прибавляется одно и то же число.

Иначе,

a1a2a3,  . . .  , an, . . .

является арифметической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:

an+1 = an + d,

где  d — некоторое число.

Таким образом, разность между последующим и предыдущим членами данной арифметической прогрессии всегда постоянна:

а2a1 = а3a2 = . . . = an+1an = d.

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать её первый член и разность.

 Например,

если  a1 = 3,  d = 4, то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

a1 =3,

a2 = a1 + d = 3 + 4 = 7,

a3 = a2 + = 7 + 4 = 11,

a4 = a3 + = 11 + 4 = 15,

a5 = a4 + = 15 + 4 = 19.

Для арифметической прогрессии с первым членом a1 и разностью d её n-й член может быть найден по формуле:

an = a1 + (– 1)d.

 Например,

найдём тридцатый член арифметической прогрессии

1, 4, 7, 10, . . .

Имеем,

a1 =1,  d = 3,

a30 = a1 + (30 – 1)d =1 + 29·3 = 88.

Так как

an–1 = a1 + (– 2)d,

a= a1 + (– 1)d,

an+1 = a1 + nd,

то, очевидно,

an  
an–1 + an+1
2

то есть,

каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Так как верно и обратное утверждение, то имеет место следующее утверждение:

числа a, b и c  являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда одно из них равно среднему арифметическому двух других.

 Например,

докажем, что последовательность, которая задаётся формулой  an = 2– 7, является арифметической прогрессией.

Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:

an = 2– 7,

an–1 = 2(n – 1) – 7 = 2– 9,

an+1 = 2(n + 1) – 7 = 2– 5.

Следовательно,

an+1 + an–1
 = 
2– 5 + 2– 9
= 2– 7 = an,
2
2

что и доказывает нужное утверждение.

Отметим, что n-й член арифметической прогрессии можно найти не толь через a1, но и любой предыдущий ak, для чего достаточно воспользоваться формулой

an = ak + (k)d.

 Например,

для  a5  можно записать

a5 = a1 + 4d,

a5 = a2 + 3d,

a5 = a3 + 2d,

a5 = a4 + d.

Так как

an = an–k + kd,

an = an+kkd,

то, очевидно,

an  
an–k + an+k
2

то есть,

любой член арифметической прогрессии, начиная со второго равен полусумме равноотстоящих от него членов этой арифметической прогрессии.

Кроме того, для любой арифметической прогрессии справедливо равенство:

am + an = ak + al,

если

m + n = k + l.

 Например,

в арифметической прогрессии  1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

1) a10 = 28 = (25 + 31)/2 = (aa11)/2;

2) 28 = a10 = a3 + 7= 7 + 7·3 = 7 + 21 = 28;

3) a10 = 28 = (19 + 37)/2 = (a+ a13)/2;

4) a2 + a12 = a5 + a9так как

    a2 + a12 = 4 + 34 = 38,

    a5 + a9 = 13 + 25 = 38.  

Сумма

S= a1 + a2+ a3 + . . .+an,

первых n членов арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних слагаемых на число слагаемых:

 Sn  = aan
 · n .
2

Отсюда, в частности, следует, что если нужно просуммировать члены

ak, ak+1,  . . . , an,

то предыдущая формула сохраняет свою структуру:

 Sn – Sk–1 = ak + ak+1 + . . . + anak + an
 · (+ 1) .
2

 Например,

в арифметической прогрессии  1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S10 – S= (10 + 28) · (10 – 4 + 1)/2 = 133.

Если дана арифметическая прогрессия, то величины  a1,  an,  d,  n  и  S связаны двумя формулами:

 an = a1 + (– 1)d    и    Sn  = a1 + an
 · n .
2

Поэтому, если значения трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При этом:

  • если d > 0, то она является возрастающей;
  • если d < 0, то она является убывающей;
  • если d = 0, то последовательность будет стационарной.


Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Иначе,

b1b2b3, . . .  , bn, . . .

является геометрической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:

bn+1 = bn · q,

где q ≠ 0 — некоторое число.

Таким образом, отношение последующего члена данной геометрической прогрессии к предыдущему есть число постоянное:

b2/b1 = b3/b2 = . . . = bn+1/bn = q.

Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.

Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать её первый член и знаменатель.

 Например,

если  b1 = 1,  q = –3, то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

b1 = 1,

b2 = b1 · q = 1 · (–3) = –3,

b3 = b2 · = –3 · (–3) = 9,

b4 = b3 · = 9 · (–3) = –27,

b5 = b4 · = –27 · (–3) = 81.

Для геометрической прогрессии с первым членом  b1 и знаменателем q её n-й член может быть найден по формуле:

bn = b1 · qn–1.

 Например,

найдём седьмой член геометрической прогрессии 1, 2, 4, . . .

Имеем,

b1 = 1,  q = 2,

b7 = b1 · q6 1 · 26 = 64.

Так как

bn–1 = b1 · qn–2,

bn = b1 · qn–1,

bn+1 = b1 · qn,

то, очевидно,

bn= bn–1 · bn+1,

то есть,

каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому (пропорциональному) предшествующего и последующего членов.

Так как верно и обратное утверждение, то имеет место следующее утверждение:

числа  a, b и c  являются последовательными членами некоторой геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда квадрат одного из них равен произведению двух других, то есть одно из чисел является средним геометрическим двух других.

 Например,

докажем, что последовательность, которая задаётся формулой  bn = –3 · 2n, является геометрической прогрессией. Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:

bn = –3 · 2n,

bn–1 = –3 · 2n–1,

bn+1 = –3 · 2n+1.

Следовательно,

bn= (–3 · 2n)2 = (–3 · 2n–1) · (–3 · 2n+1) = bn–1 · bn+1,

что и доказывает нужное утверждение.

Отметим, что n-й член геометрической прогрессии можно найти не только через b1, но и любой предыдущий член bk, для чего достаточно воспользоваться формулой

bn = bk · qnk.

 Например,

для  b5  можно записать

b5 = b1 · q4,

b5 = b2 · q3,

b5 = b3 · q2,

b5 = b4 · q.

Так как

bn = bk · qnk,

bn = bnk · qk,

то, очевидно,

bn= bn· bn+k

то есть,

квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго равен произведению равноотстоящих от него членов этой прогрессии.

Кроме того, для любой геометрической прогрессии справедливо равенство:

b· bb· bl,

если

l.

 Например,

в геометрической прогрессии  1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

1) b6= 322 = 1024 = 16 · 64 = b· b7;

2) 1024 = b11 = b6 · q5 = 32 · 25 = 1024;

3) b6= 322 = 1024 = 8 · 128 = b4 · b8;

4) b2 · bb4 · b5,  так как

    b2 · b2 · 64 = 128,

    b4 · b5 = 8 · 16 = 128.  

Сумма

S= bbb+ . . . + bn

первых n членов геометрической прогрессии со знаменателем q  0  вычисляется по формуле:

  Sn  = b1 · 1 – qn
 .
1 – q  

А при q = 1 — по формуле

S= nb1

Заметим, что если нужно просуммировать члены

bk, bk+1,  . . . ,bn,

то используется формула:

  S– Sk–1  =  bk + bk+1 + . . . + bn  =  bk · 1 – qnk+1
 .
1 – q  

 Например,

в геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 – 210) / (1 – 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S10 – S= 64 · (1 – 210–7+1) / (1 – 2) = 960.

Если дана геометрическая прогрессия, то величины  b1,  bn,  q,  n  и  Sn  связаны двумя формулами:

 bn = b1 · qn–1  и  S= b1 · 1 – qn
 .
1 – q  

Поэтому, если значения каких-либо трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Для геометрической прогрессии с первым членом b1 и знаменателем q имеют место следующие свойства монотонности:

  • прогрессия является возрастающей, если выполнено одно из следующих условий:

b1 > 0  и  > 1;

b1 < 0  и  0 < < 1;

  • прогрессия является убывающей, если выполнено одно из следующих условий:

b1 > 0  и  0 < q < 1;

b1 < 0  и  > 1.

Если  q < 0, то геометрическая прогрессия является знакопеременной: её члены с нечётными номерами имеют тот же знак, что и её первый член, а члены с чётными номерами — противоположный ему знак. Ясно, что знакопеременная геометрическая прогрессия не является монотонной.


Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:

P= b1 · b· b3 · . . . · bn = (b1 · bn) n/2.

 Например,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128)8/2 = 1284 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48)5/2 = (1441/2)5 = 125 = 248 832.


Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называют бесконечную геометрическую прогрессию, модуль знаменателя которой меньше 1, то есть 

|q| < 1.

Заметим, что бесконечно убывающая геометрическая прогрессия может не быть убывающей последовательностью. Это соответствует случаю

–1 < q < 0.

При таком знаменателе последовательность знакопеременная. Например,

1, –1/2, 1/4, –1/8, . . .  .

Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому неограниченно приближается сумма первых n членов прогрессии при неограниченном возрастании числа n. Это число всегда конечно и выражается формулой

  S  =  bbb+ . . . = b
 .
1 – q

 Например,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 – 0,1) = 11 1/9 ,

10 – 1 + 0,1 – 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1/11 .


Связь арифметической и геометрической прогрессий

Арифметическая и геометрическая прогрессии тесно связаны между собой. Рассмотрим лишь два примера.

Если

a1a2a3, . . .— арифметическая прогрессия с разностью d, то

ba1, ba2, ba3, . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем bd.

 Например,

1, 3, 5, . . . — арифметическая прогрессия с разностью 2 и

71, 73, 75, . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем 72.

Если

b1b2b3, . . .— геометрическая прогрессия с знаменателем q, то

loga b1,  loga b2,  loga b3, . . . — арифметическая прогрессия с разностью  logq.

 Например,

2, 12, 72, . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем 6 и

lg 2,  lg 12,  lg 72, . . . — арифметическая прогрессия с разностью  lg 6.

 

      Смотрите также:

Обозначения и сокращения

Таблицы чисел

Алгебраические тождества

Степени

Арифметический корень n-й степени

Логарифмы

Графики элементарных функций

Построение графиков функций геометрическими методами

Тригонометрия

Таблицы значений тригонометрических функций

Предел и непрерывность функции

Треугольники

Четырёхугольники

Многоугольники

Окружность

Площади геометрических фигур

Прямые и плоскости

Многогранники

Тела вращения

 

Нам 4 года!

14 марта 2016 года сайту Математика для школы|math4school.ru исполнилось 4 года. Поскольку число 4 для нашего сайта не чужое, мы решили подвести некоторые итоги.

Новый формат главного меню

Расширены функциональные возможности главного меню.

Галерея на сайте math4school.ru
Приглашаю посетить Галерею, – новый раздел на сайте.

444 года со дня рождения Иоганна Кеплера

27 декабря 2015 года исполнилось 444 года со дня рождения Иоганна Кеплера.

Новый раздел на сайте math4school.ru

Закончена работа над новым разделом сайта Работа над ошибками.

Союз образовательных сайтов